半連續函數

函數的半連續性是比連續性更弱的概念。如果函數在一點附近的值不超過函數在該點處的值，則函數在該點處是上半連續的（upper semicontinuous）。如果函數在一點附近的值不小於函數在該點處的值，則函數在該點處是下半連續的（lower semicontinuous）。

此外還有左連續性和右連續性，與上下半連續性不同的是，這兩種連續性都是通過研究自變量的兩側極限行為來描述函數的連續性質的（而上下半連續性是通過研究因變量的兩側極限行為來描述函數的連續性質），因此它們都只在自變元是實數集情形下有定義，參見左連續函數。

定義

度量空間

給定一個完備的度量空間$(X,\rho)$，定義了一個實值函數$f: X \to \R$，稱$f$在一點$x_0 \in X$為序列下（上）半連續的，如果 $$\liminf _{x\to x_{0}}f(x)\geqslant f(x_{0})\quad \left(\limsup _{x\to x_{0}}f(x)\leqslant f(x_{0})\right).$$ 如果一個函數$f(x)$對於$M \in X$中的所有點來說是序列下（上）半連續的，則稱它是在子集$M$上是序列下（上）半連續的。

以序列上半連續為例，這個定義等價於（拓撲）上班連續，對每個$\varepsilon > 0$都存在$x_0$的開鄰域$U(x_0)$使得 $$\forall x \in U(x_0), f(x) < f(x_0) + \varepsilon.$$ 也就是說，對任意的$\alpha >f(x_{0})$，$x_0$是$f^{-1}(-\infty ,\alpha )$的內點。

拓撲空間

上述等價定義可以將半連續性推廣到一般的拓撲空間$X$上去。一個函數在一點$x_0$處的半連續性是通過這一點的一個鄰域上的半連續性來衡量的，這就是下面的定義

$f(x)$在$x_0 \in X$是上（下）半連續的，如果對任意的$\alpha >f(a)$（$\alpha <f(a)$）存在一個$x_0$的開鄰域$V$，使得對任意的$x \in V$都有$f(x)<\alpha$（$f(x)>\alpha$）。也就是說，對任意的$\alpha >f(x_{0})$，$x_0$是$f^{-1}(-\infty ,\alpha )$（$f^{-1}(\alpha ,+\infty )$）的內點。

$f: X \to \R$在拓撲空間$X$的子空間$S$上的上（下）半連續性就定義為$f$在任意的$x\in S$上都是上（下）半連續的。

類似於連續函數的開集原像為開集之拓撲表述，半連續也有類似表述：

$f(x)$在$X$是上（下）半連續的，如果$$\forall \alpha \in \mathbb {R} ,\{x\in X:f(x)<\alpha \}~(\{x\in X:f(x)>\alpha \})$$的原像是開集。

可以驗證開集的特徵函數為下半連續函數，閉集的特徵函數為上半連續函數。

上面我們都是定義的拓撲半連續性，當然在拓撲空間上也有序列半連續性，尤其是在變分的直接方法中會直接使用到序列弱上半連續的概念（即在 Baanch 空間的共軛空間上的弱拓撲下是序列半連續的），它的定義是：我們稱$f: X \to \R$是序列下（上）半連續的，如果 $$\liminf _{x\to x_{0}}f(x)\geqslant f(x_{0})\quad \left(\limsup _{x\to x_{0}}f(x)\leqslant f(x_{0})\right).$$ 如果$X$是第一可數空間，由序列引理得到序列上（下）半連續性和拓撲上（下）半連續性等價。

性質

以下結論如未特別說明，對應的函數都在拓撲空間上定義。

1. $f$在$x_0$連續當且僅當它在$x_0$既上半連續也下半連續。
2. 若$f$在一點上半連續，則在該點處，$af$在$a \geqslant 0$時上半連續，在$a \leqslant 0$時下半連續，反之亦然。
3. 若$f$在子集$M$上上半連續，則$f^+, f^-$分別在該點上半連續和下半連續，反之亦然。這裡$$f^+(x) = \begin{cases} f(x), & x \geqslant 0, \\ 0, & x < 0, \end{cases} \quad f^-(x) = \begin{cases} 0, & x \geqslant 0, \\ -f(x), & x < 0 \end{cases}$$分別是$f$的正部和負部。
4. 若$f, g$都是上半連續的，那麼$\min\{f,g\},\max\{f,g\}$都是上半連續的。
5. 若$f, g$在$x_0$上半連續，則$f+g$也在該點上半連續；若兩者皆非負，則$f g$在該點也是上半連續。
6. 若$f:S\to I$下半連續且$\varphi :f(I)\to \mathbb {R}$左連續且單調不減，那麼$\varphi \circ f$下半連續。
7. （Weierstrass 定理）若$K$為$X$的緊子集，則其上的上半連續函數必取到極大值，而下半連續函數必取到極小值。
8. 設有下半連續函數序列$\{ f_n \}_{n=1}^\infty$，且對所有$x \in X$有$f(x) = \sup_n f_n (x) < + \infty$，則$f(x)$是下半連續函數，即下半連續函數列的上確界下半連續，反之，上半連續函數列的下確界上半連續。
9. （R. Baire）如果$X$是局部緊的 Hausdorff 空間，函數$f: X \to \R$非負序列下半連續，那麼$$f(x) = \sup \{ g(x): g \in C_c(X), 0 \leqslant g \leqslant f \}.$$
10. （H. Hahn）如果$X$是度量空間，如果$u: X \to \R$和$v: X \to \R$分別是上和下半連續函數，並且$$- \infty < v(x) \leqslant u(x) < + \infty, \quad \forall x \in X,$$那麼存在一個$X$上的連續函數$f(x)$使得$$v(x) \leqslant f(x) \leqslant u(x), \quad \forall x \in X.$$

拓撲可測空間

半連續性描述了拓撲空間中的開集與閉集的特徵函數，因此可以作為代替拓撲空間中集合的開閉性的分析工具，尤其是在拓撲可測空間（局部緊的 Hausdorff 空間）中，如果給定了其上的一個 Radon 測度$\mu$，那麼

1. $f: X \to \R$是非負下半連續的可以得到$$\int_X f \mathrm{d}\mu = \sup \left\{ \int_X g \mathrm{d}\mu:g \in C_c(X), 0 \leqslant g \leqslant f \right\}$$
2. $f: X \to \R$是非負的 Borel 可測函數可以得到$$\int_X f \mathrm{d}\mu = \inf \left\{ \int_X g \mathrm{d}\mu:g \geqslant f, g \text{ is lower semicontinuous.} \right\}$$

參考資料

1. Gerald B. Folland, Real Analysis(2nd Ed.), Wiley, 1999-04, ISBN 978-0-4713-1716-6.