函数的半连续性是比连续性更弱的概念。如果函数在一点附近的值不超过函数在该点处的值,则函数在该点处是上半连续的(upper semicontinuous)。如果函数在一点附近的值不小于函数在该点处的值,则函数在该点处是下半连续的(lower semicontinuous)。
此外还有左连续性和右连续性,与上下半连续性不同的是,这两种连续性都是通过研究自变量的两侧极限行为来描述函数的连续性质的(而上下半连续性是通过研究因变量的两侧极限行为来描述函数的连续性质),因此它们都只在自变元是实数集情形下有定义,参见左连续函数。
定义[]
度量空间[]
给定一个完备的度量空间
,定义了一个实值函数
,称
在一点
为序列下(上)半连续的,如果

如果一个函数

对于

中的所有点来说是序列下(上)半连续的,则称它是在子集

上是序列下(上)半连续的。
以序列上半连续为例,这个定义等价于(拓扑)上班连续,对每个
都存在
的开邻域
使得

也就是说,对任意的

,

是

的内点。
拓扑空间[]
上述等价定义可以将半连续性推广到一般的拓扑空间
上去。一个函数在一点
处的半连续性是通过这一点的一个邻域上的半连续性来衡量的,这就是下面的定义
在
是上(下)半连续的,如果对任意的
(
)存在一个
的开邻域
,使得对任意的
都有
(
)。也就是说,对任意的
,
是
(
)的内点。
在拓扑空间
的子空间
上的上(下)半连续性就定义为
在任意的
上都是上(下)半连续的。
类似于连续函数的开集原像为开集之拓扑表述,半连续也有类似表述:
在
是上(下)半连续的,如果
的原像是开集。
可以验证开集的特征函数为下半连续函数,闭集的特征函数为上半连续函数。
上面我们都是定义的拓扑半连续性,当然在拓扑空间上也有序列半连续性,尤其是在变分的直接方法中会直接使用到序列弱上半连续的概念(即在 Baanch 空间的共轭空间上的弱拓扑下是序列半连续的),它的定义是:我们称
是序列下(上)半连续的,如果

如果

是
第一可数空间,由
序列引理得到序列上(下)半连续性和拓扑上(下)半连续性等价。
性质[]
以下结论如未特别说明,对应的函数都在拓扑空间上定义。
在
连续当且仅当它在
既上半连续也下半连续。
- 若
在一点上半连续,则在该点处,
在
时上半连续,在
时下半连续,反之亦然。
- 若
在子集
上上半连续,则
分别在该点上半连续和下半连续,反之亦然。这里
分别是
的正部和负部。
- 若
都是上半连续的,那么
都是上半连续的。
- 若
在
上半连续,则
也在该点上半连续;若两者皆非负,则
在该点也是上半连续。
- 若
下半连续且
左连续且单调不减,那么
下半连续。
- (Weierstrass 定理)若
为
的紧子集,则其上的上半连续函数必取到极大值,而下半连续函数必取到极小值。
- 设有下半连续函数序列
,且对所有
有
,则
是下半连续函数,即下半连续函数列的上确界下半连续,反之,上半连续函数列的下确界上半连续。
- (R. Baire)如果
是局部紧的 Hausdorff 空间,函数
非负序列下半连续,那么
- (H. Hahn)如果
是度量空间,如果
和
分别是上和下半连续函数,并且
那么存在一个
上的连续函数
使得
拓扑可测空间[]
半连续性描述了拓扑空间中的开集与闭集的特征函数,因此可以作为代替拓扑空间中集合的开闭性的分析工具,尤其是在拓扑可测空间(局部紧的 Hausdorff 空间)中,如果给定了其上的一个 Radon 测度
,那么
是非负下半连续的可以得到
是非负的 Borel 可测函数可以得到
参考资料