半范数

半范数（semi-norm）是范数的弱化版本，在一般的定义中，半范数是将范数的正定性改为非负性得到的。

注意区分范数、半范数、准范数、次线性泛函等概念，在不同的语境下相同的名称可能指不同的东西。

概念

设有数域上的$\mathbb{P}$上的线性空间$V$，在其上定义了一个函数$\| \cdot \|: V \to \R$，它满足

• 非负性：$\| x \| \geqslant 0.$
• 齐次性：对任意常数$a \in \mathbb{P}$，$\| a x \| = |a| \| x \|;$
• 三角不等式：$\| x + y \| \leqslant \| x \| + \| y \|.$

我们就称该函数$\| \cdot \|$为一个半范数，也叫半模。

由定义立即得到范数是半范数。如果半范数还满足

• 正定性：$\| x \| = 0 \iff x = \theta.$

那么半范数就是范数。由于没有正定性，带有半范数的线性空间可能不是赋范线性空间，通常情况下我们会限制到线性子空间或做商空间来得到一个新的空间，在这个空间上半范数成为范数。例如：

1. $L^p$空间中将几乎处处相等的函数视作同一个函数，是做了商空间。
2. $BMO$空间中将几乎处处相差一个常数的两个函数视作同一个函数，也是做了商空间。
3. $D^{1,2}$（齐次 Sobolev 空间）中也有类似的处理，比方说在$D^{1,2}(\R^n)$中收集的函数是$L^{2^*}$的，就是用了一个特殊的子空间。

一个线性空间$V$上的半范数$\| \cdot \|$可以决定这个线性空间上的一个伪度量 $$d(x, y) := \| x - y \|.$$ 于是赋半范数的线性空间是第一可数的，原点的可数邻域基可以取 $$\{B(0,r)=\{x\in V:\|x\|<r\}\}_{r\in \mathbb {Q} ^{+}}.$$ 根据半范数的定义，如果$V$还是 Hausdorff 空间，那么半范数可以成为范数。下面这个事实说明了半范数决定了一个线性拓扑$\tau$，进而$(V,\tau )$就变成了拓扑线性空间，这个空间还是局部凸的。

由#A2定义的原点的邻域系，平移之后在$V$上定义了一个集合系

$$\{B(x,r)=\{y\in V:\|y-x\|<r\}\}_{r\in \mathbb {Q} ^{+},x\in V}$$ 这个集合系生成的拓扑$\tau$是线性拓扑。

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我们只需要证明加法和数乘关于这个拓扑连续。

1. 对加法的连续性可以由$B(x,r/2)+B(x,r/2)\subset B(x,r)$得到。
2. 对数乘的连续性：我们要证明对任意的$\lambda _{0}\in \mathbb {P} ,x_{0}\in V,r\in \mathbb {Q} ^{+}$都存在$r_{1},r_{2}\in \mathbb {Q} ^{+}$使得对任意的$\lambda \in \mathbb {P} ,|\lambda -\lambda _{0}|<r_{2}$，对任意的$x\in B(x_{0},r_{1})$的时候成立$\lambda x\in B(\lambda _{0}x_{0},r)$，实际上，由$$p(\lambda x-\lambda _{0}x_{0})\leqslant p(\lambda x-\lambda _{0}x)+p(\lambda _{0}x-\lambda _{0}x_{0})\leqslant |\lambda -\lambda _{0}|p(x)+|\lambda _{0}|p(x-x_{0}).$$于是只需取合适的正有理数使得$r_{1}<{\dfrac {r}{1+2|\lambda _{0}|}},r_{2}<{\dfrac {r}{2r+2p(x_{0})}}$即可。

收敛性和 Cauchy 列

因此也可以定义收敛性：$\{ x_n \} \subset V$收敛到$x \in V$是指 $$\lim_{n \to \infty} \| x_n - x \| = 0.$$ 也有 Cauchy 序列的概念：一个序列$\{ x_n \} \subset V$被称为是 Cauchy 序列是指$\forall\varepsilon>0,\exists N\in\N$，对任意的$m, n > N$成立$\| x_n - x_m \| < \varepsilon.$和赋范线性空间中不同的是，半范数定义的收敛性可能不是唯一的：一个收敛序列可能有很多极限。

进一步，

在线性空间$V$上，如果$\| \cdot \|$是一个半范数，那么$\{ x_n \} \subset V$是 Cauchy 列当且仅当它有一个收敛子列。

完备性和可和序列

在线性空间$V$上，如果$\| \cdot \|$是一个半范数，$(V, \| \cdot \|)$是完备的是指每个$V$中的 Cauchy 列都是收敛的。由于$(V, \| \cdot \|)$第一可数，序列完备性和完备性等价。

在$V$上，$\| \cdot \|$是半范数，我们说序列$\{ x_n \}$是可和的（summable）是指部分和序列$\left\{ \sum_{i=1}^k x_i \right\}_{k=1}^\infty$是收敛的，序列$\{ x_n \}$是绝对可和（absolutely summable）是指数列$\left\{ \sum_{i=1}^k \| x_i \| \right\}_{k=1}^\infty$是收敛的。

一个具有半范数$\| \cdot \|$的线性空间$V$是完备的当且仅当任意一个绝对可和序列是可和序列。

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1. 假设$V$完备且$\{ x_i \}$绝对可和，那么$${\begin{aligned}\|S_{n+p}-S_{n}\|=\left\|x_{n+1}+\cdots +x_{n+p}\right\|\\\leqslant \|x_{n+1}\|+\cdots +\|x_{n+p}\|\\=T_{n+p}-T_{n}.\end{aligned}}$$其中$\{S_{n}\},\{T_{n}\}$分别是$\{x_{n}\},\{\|x_{n}\|\}$发部分和序列，所以$\{S_n\}$是 Cauchy 列，进而收敛。
2. 反过来要证明$V$完备，任取$V$中的 Cauchy 列$\{ x_n \}$，我们可以选出一个子列$\{x_{n_k}\}$使得$\{x_{n_{k}}-x_{n_{k-1}}\}$绝对可和，于是$\{x_{n_{k}}-x_{n_{k-1}}\}$可和即部分和序列$\{x_{n_k}\}$收敛，由于$\{ a_n \}$是 Cauchy 列进而收敛。

有界线性算子及唯一稠密延拓

假设$X, Y$是线性空间，$\| \cdot \|_X, \| \cdot \|_Y$分别是是$X, Y$上的半范数，我们称$f: X \to Y$是一个线性算子，是指它是作为线性空间之间的线性映射，我们称$f$是有界的是指存在$C > 0$使得$\forall x \in X, \| f(x) \|_Y \leqslant C \| x \|_X.$

我们称$f: X \to Y$是连续的是指对任意的$x_k \to x \in X$都有$f(x_k) \to f(x) \in Y.$因为伪度量空间是第一可数的，它等价于开集的原象是开集。

对于线性算子$T: X \to Y$定义 $$\| T \| := \sup_{x \in \overline{B}_X} \| Tx \|_Y.$$

另外可以证明有界性和连续性等价。

假设$X, Y$是线性空间，$\| \cdot \|_X, \| \cdot \|_Y$分别是是$X, Y$上的半范数，$f: X \to Y$是一个线性算子，那么以下四款等价

1. $f$在$X$上连续。
2. $f$在原点连续。
3. $f$把$X$中的单位开球映成$Y$上的有界集，即$\| f(B_X) \|_Y < C.$
4. $f$在$X$上有界：$\| f(x) \|_Y < C \| x \|_X.$

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• 1推2：任取$x \in X$，$f$在$x$处连续推出$f(x_k) \to f(x)$，于是$f(x_k - x) \to 0~(x_k-x \to 0).$

1. 2推3：$f^{-1}(B_Y)$是包含$X$中的原点的一个开集，因此存在一个开球$B_X(0, r) \subset f^{-1}(B_Y)$，用#引理5取$p(x) = \| x \|_X, q(x) = \| f(x) \|_Y, a = r, b = 1$可得$\| f(x) \|_Y \leqslant \dfrac{1}{r} \| x \|_X.$
2. 3推4：注意到由$\| x \|_X < 1$推出$\| f(x) \|_Y \leqslant C$，应用#引理5立即可得结论。
3. 4推1：对任意收敛到$x \in X$的序列$\{ x_k \} \subset X$，我们要证明$f(x_k) \to f(x) \in Y$，由收敛性的定义这就是要证明$\lim_{k \to \infty} \| f(x_k) - f(x) \|_Y = 0.$简单计算可以得到$$\lim_{k \to \infty} \| f(x_k) - f(x) \|_Y = \lim_{k \to \infty} \| f(x_k - x) \|_Y < C \lim_{k \to \infty} \| x_k - x \|_X = 0.$$

由此立即推出：$X$上的半范数$\| \cdot \|_X$是连续的。

如果$a>0$且$b > 0$使得$p(x) < a$蕴含$q(x) \leqslant b$，那么$a q(x) \leqslant b p(x)$对任意$x \in X$成立。

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假设结果不真，即存在$t > 0$使得$a q(x) > t > b p(x)$，令$y = \dfrac{ab}{t} x$，那么$p(y) = \dfrac{ab}{t} p(x) < a$但是$q(y) = \dfrac{ab}{t} q(x) > b$，与条件矛盾。

下面这个定理表明在稠密子集上的连续延拓在一定条件下是唯一的（如果没有稠密性，由 Hahn-Banach 定理可以保证$X$上的子空间上的实或复的线性泛函可以连续延拓到$X$上，但是未必唯一）。

假设$X$是线性空间，$\| \cdot \|_X$是$X$上的一个半范数，$X_0$是$X$的线性子空间，如果$X_0$在$X$中稠密，$f: X_0 \to Y$是$X_0$上的有界线性算子（即满足$\| f(x) \|_Y \leqslant C \| x \|_X$对任意$x\in X_{0}$），那么在$X$上存在一个有界线性算子$f$满足

1. 延拓：$f|_{X_0} = f_0.$
2. 受控：$\| f(x) \|_Y \leqslant C \| x \|_X.$

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当$Y = \R \text{ or } \C$时，延拓的存在性由 Hahn-Banach 定理可以保证，下面我们考察$Y$是一般的 Banach 空间的情形：定义$$\begin{align} f: X & \to Y \\ x & \mapsto \lim_{k \to \infty} f(x_k). \end{align}$$

其中$\{ x_k \} \subset X_0$是任意一个以$x$为极限的序列，

1. $f$是良定义的，假设$\{ x_k' \} \subset X_0$是另外一个以$x$为极限的序列，那么$${\begin{aligned}&\quad ~\left\|\lim _{k\to \infty }f(x_{k})-\lim _{k\to \infty }f(x_{k}')\right\|_{Y}\\&=\lim _{k\to \infty }\left\|f(x_{k})-f(x_{k}')\right\|_{Y}\\&=\lim _{k\to \infty }\left\|f(x_{k}-x_{k}')\right\|_{Y}\\&\leqslant C\lim _{k\to \infty }\left(\|x_{k}-x_{k}'\|_{X}\right)\to 0.\end{aligned}}$$这就说明$\lim_{k \to \infty} f(x_k) = \lim_{k \to \infty} f(x_k').$
2. $f$是$f_0$的延拓：由于$f$在$X_0$上有界，进而连续，$\forall x \in X_0, f_0(x) = \lim_{k \to \infty} f(x_k) = f(x).$
3. $\| f(x) \|_Y \leqslant C \| x \|_X$：注意到半范数是连续的，那么$\| f(x) \|_Y = \lim_{k \to \infty} \| f(x_k) \|_Y \leqslant C \lim_{k \to \infty} \| x_k \|_X = C \| x \|_X.$
4. 延拓是唯一的：假设存在$g(x)$也是满足上述条件的一个延拓，那么对任意的$x \in X$，我们可以得出$$\begin{align} \| f(x) - g(x) \|_Y & = \left\| \lim_{k \to \infty} f(x) - f(x_k) + f(x_k) - g(x_k) + g(x) - g(x_k) \right\|_Y \\ & \leqslant \left\| \lim_{k \to \infty} f(x) - f(x_k) \right\|_Y + \left\| \lim_{k \to \infty} f(x_k) - g(x_k) \right\|_Y + \left\| \lim_{k \to \infty} g(x) - g(x_k) \right\|_Y \\ & \leqslant \left\| \lim_{k \to \infty} f(x - x_k) \right\|_Y + \left\| \lim_{k \to \infty} g(x - x_k) \right\|_Y \\ & \leqslant \lim_{k \to \infty} \left\| f(x - x_k) \right\|_Y + \lim_{k \to \infty} \left\| g(x - x_k) \right\|_Y \\ & \leqslant 2C \lim_{k \to \infty} \left\| x - x_k \right\|_X \to 0. \end{align}$$

注意：在具有半范数的线性空间中，线性泛函的有界性和连续性未必等价，因此上面的结果仅是针对有界线性泛函而言的，在赋范线性空间中，上述定义就说明了如果其上的两个连续线性泛函在一个稠密子空间上恒等，那么这两个连续线性泛函在正割赋范线性空间上就是恒等的。

次线性泛函

对半范数进一步弱化会得到次线性泛函的概念：$p(x): X \to \R$是线性空间$X$上的一次线性泛函，是指它满足

1. 三角不等式：$\forall x, y \in X, p(x+y) \leqslant p(x) + p(y).$
2. 正齐次性：$\forall x \in X, \lambda > 0, p(\lambda x) = \lambda p(x).$

半范数是次线性泛函。

可数范数空间

关于半范数有可数范数空间的概念。虽然这个概念名字中有范数字样，但它其实是通过一列半范数来衡量拓扑性质的。

假设有域$\mathbb{K}$上的线性空间$X$，其上定义了可数个半范数$\| \cdot \|_m$，且满足

1. 非负性：$\| x \|_m \geqslant 0, m = 1,2,\cdots.$
2. 齐次性：$\forall x \in X, \forall \lambda \in \mathbb{K}, \| \lambda x \|_m = |\lambda| \| x \|_m, m = 1,2,\cdots.$
3. 三角不等式：$\forall x, y \in X, \| x + y \|_m \leqslant \| x \|_m + \| y \|_m, m = 1,2,\cdots.$
4. 正定性：$x = \theta \iff \forall m \in \N^+, \| x \|_m = 0.$

这一列$\| \cdot \|_m$不是范数，是因为正定性是对所有的半范数给出的，而并非对某个$m \in \N^{+}$满足$\| x \|_m = 0$就可推出$x = \theta.$

我们称上述空间$(X, \| \cdot \|_m)$为可数范数空间，或$B_0^*$空间，有时也简记作$X$。

参考资料

1. 张恭庆, 林源渠, 《泛函分析讲义（上册）（第二版）》, 高等教育出版社, 北京, 2021-01, ISBN 978-7-3013-0964-3.