半正定矩阵

在线性代数中，半正定矩阵是一类比正定矩阵条件弱的矩阵，它是能合同为标准型$\begin{pmatrix} E_r & O \\ O & O \end{pmatrix}$的矩阵。

定义

设$r = \operatorname{rank} A$，称$n$阶方阵$A$是实半正定矩阵，如果存在可逆矩阵$Q$，使得$A = Q^\text{T} \begin{pmatrix} E_r & O \\ O & O \end{pmatrix} Q$；同样，称$n$阶方阵$A$是实半负定矩阵，如果存在可逆矩阵$Q$，使得$A = -Q^\text{T} \begin{pmatrix} E_r & O \\ O & O \end{pmatrix} Q$。

$n$阶方阵$A$是实半正定矩阵，除了定义之外，这一命题还有以下等价表述

1. $A$的所有$n$个特征根都是非负的，特别地，零特征根的重数为$n-r$；
2. $A$的所有主子式都大于等于零，仅凭所有顺序主子式都大于等于零是不行的，例如$\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$；
3. 存在满足$\operatorname{rank} P = \operatorname{rank} A$的矩阵$P$，使得$A = P^\text{T} P$，实际上，这里的$P = \begin{pmatrix} E_r & O \\ O & O \end{pmatrix} Q$；
4. 实二次型$f = X^\text{T}AX$是半正定的。

性质

以下设$A$是$n$阶实半正定矩阵：

• 实半正定矩阵一定是对称矩阵；
• $|A| \geqslant 0$，且$A^*$是半正定的；
• $A$正定当且仅当$A$可逆；
• 若$\forall \lambda > 0$，那么$\lambda E + A$是正定的。
• 假设$A \in \R^{n \times n}$是正定矩阵，$Q \in \R^{n \times m}$满足$Q^\text{T} Q = E_m$，那么$Q^\text{T} A^{-1} Q - (Q^\text{T} A Q)^{-1}$是半正定的。

矩阵极分解

任何一个实矩阵$A$都可以分解为一个半正定矩阵$T$与正交矩阵$U$的乘积，其中$\operatorname{rank} T = \operatorname{rank} A$，这也是矩阵的极分解。当$A$可逆时$T$就是正定阵。

广义半正定矩阵

也叫 Hermite 半正定矩阵，设$A \in \mathbb{C}^{n \times n}$，若$\overline{A^\text{T}} = A$（$A$是一个 Hermite 矩阵），$\forall \theta \ne X \in \C^n$，$X^\text{T} A X \geqslant 0$，那么称$A$是广义半正定矩阵，我们可以像半正定矩阵那样建立上述等价刻画以及相应的性质。

上下节

• 上一节：正定矩阵
• 下一节：二次型

参考资料

1. 郭聿琦, 岑嘉评, 王正攀, 《高等代数教程》, 科学出版社, 北京, 2014-07, ISBN 978-7-0304-0417-6.