半序 Banach 空间

在泛函分析核偏微分方程理论中，半序 Banach 空间是装备了偏序结构且与线性结构和拓扑结构相容的 Banach 空间，在算子方程的上下解理论以及单调映射等领域应用广泛。

定义

有两种等价的方式定义半序 Banach 空间，第一种是直接给出半序，第二种是先定义闭锥。

半序定义

假设有实 Banach 空间$(X, \| \cdot \|)$以及半序空间$(X, \leqslant)$，如果还满足：

1. （半序与线性结构相容）对任意$x\leqslant u,y\leqslant v,\lambda ,\mu \geqslant 0$都有$\lambda x+\mu y\leqslant \lambda u+\mu v.$
2. （半序与拓扑结构相容）对任意序列$\{x_{n}\}\to x,\{y_{n}\}\to y$以及$x_{n}\leqslant y_{n}$都有$x \leqslant y.$

我们称$(X,\|\cdot \|,\leqslant )$是半序 Banach 空间，在不引起混淆的情况下简记为$X$。

闭锥

假设$X$是实 Banach 空间，$K$是$X$中的闭凸子集，如果

1. 若$x\in K,\lambda \geqslant 0$，则$\lambda x\in K.$
2. 若$x\in K,-x\in K$，则$x = 0.$

我们就称$K$是$X$中的闭锥。

上述两种定义等价，如果有了闭锥$K$，我们可以定义半序为

$$x\leqslant y\iff y-x\in K.$$

如果有了半序$\leqslant$，我们可以定义闭锥为

$$K=\{x\in X:0\leqslant x\}.$$

体锥和再生锥

有非空内部的闭锥（即有内点的闭锥）称为体锥。如果闭锥$K$满足对任意$x \in X$都存在$y,z\in K$满足$x=y-z$，那么$K$就称为再生锥。

任意半序 Banach 空间$X$中的体锥$K$是再生锥。

关于这个定理/命题的证明，单击这里以显示/折叠

由于$K$有内点，不妨假设$B(x_{0},delta)\subset K$，对任意$x \in X$而言，

$$x=x-x_{0}+x_{0}=2\left({\dfrac {1}{2}}(x-x_{0})+{\dfrac {1}{2}}x_{0}\right)$$

而$x_{0}\in K$，由于$K$是凸集，我们只需要证明$x-x_{0}\in K$，实际上

$$x-x_{0}={\dfrac {\|x-x_{0}\|}{\delta }}\left(\delta {\dfrac {x-x_{0}}{\|x-x_{0}\|}}\right)$$

括号内的部分属于$B(x_{0},\delta )\subset K$，然后用$K$的正齐次性即可。

正规与正则

我们知道半序决定了一个“区间”，虽然$X$上的元素未必都可以比较，但是对于可以比较的元素而言我们可以定义序区间：对任意的$x,y\in X,x\leqslant y$，定义

$$\langle x,y\rangle :=\{z\in X:z\leqslant y,x\leqslant z\}.$$

如果对于一个集合$U \subset X$存在$x,y \in X$使得$U\subset \langle x,y\rangle$，我们就称$U$是序有界的，注意：序有界和依范数有界可以互不蕴含。为了研究方程上下界问题，我们往往要建立序有界和范数有界的关系，例如单调有界定理就是说的序单调且序有界的点列是收敛的这一性质，因此我们需要引入下面的一些概念。以下均假设$K$是半序 Banach 空间中的闭锥。

1. 如果$X$中的任意序有界集合都是依范数有界的，我们就称锥$K$是正规的。
2. 如果$X$中的任意的序单调且序有界的点列都是依范数收敛的，我们就称锥$X$是正则的，这就是单调有界定理所要求的条件。
3. 如果$X$中的任意的序单调且范数有界的点列都是依范数收敛的，我们就称锥$X$是完全正则的。

可以证明，正则蕴含正规，完全正则蕴含正则，反过来都未必。

在上述三个定义中，正规锥的性质更常用，因为有下面的等价刻画，它表明闭锥正规当且仅当两面夹法则成立。

假设$K$是半序 Banach 空间中的闭锥，那么下面几款叙述等价：

1. $K$正规。
2. 存在$\delta > 0$使得对任意的$x,y\in K$且$\| x \| = \| y \| = 1$都有$\|x+y\|>\delta .$
3. 存在常数$M > 0$使得当$0\leqslant x\leqslant y$的时候成立$\|x\|\leqslant M\|y\|.$
4. 如果$x_n \leqslant y_n \leqslant z_n$，$n \in \mathbb{N}^+$，且$x_{n}\to x,z_{n}\to x$，那么$y_{n}\to x.$

参考资料

1. 钟承奎, 范先令, 陈文塬, 《非线性泛函分析引论》, 兰州大学出版社, 2004-07, ISBN 978-7-3110-1332-5.