区间套定理

实数理论中，区间套定理（Nested Intervals Theorem），一般地，称之为闭区间套定理，是一个实数完备性的一组基本等价公理之一，它可以由构造实数的Cantor 基本列方法简单证得。

区间套

在数学中，一串区间套是实数中的一串区间$I_n (n = 1, 2, 3, \cdots)$，使得对于每个$n$都有$I_{n + 1}$是$I_n$的子集，有时我们要求它是真子集。也就是说，在这串区间中，区间从左边逐渐往右收缩，而在右边逐渐往左收缩。

定理内容

设$\{ [a_n,~b_n] \}_{n=1}^{\infty}$是一个闭区间套，即满足：

1. $\forall n, [a_{n+1},~b_{n+1}] \subset [a_n,~b_n];$
2. $\lim_{n \to \infty} ( b_n - a_n ) = 0$

存在唯一的实数$\xi$，使得$\xi \in [a_n,~b_n], n \in \mathbb{N^{+}}.$

证明

最基本的证明可由构造实数的Cantor 基本列方法给出。

证 由假设$b_n - a_n \to 0 (n \to \infty )$，则$\forall \varepsilon > 0 , \exists n > N ( \varepsilon ), s.t. n > N(\varepsilon), b_n - a_n < \varepsilon$。
固定$m > N ( \varepsilon )$，则$\{ a_{m+k} \}_{k = 1}^{\infty} \subseteq [a_m, b_m ],$
$\therefore \forall k \in \mathbb{N^{+}}, | a_{m+k} - a_m | \leqslant | b_m - a_m | < \varepsilon$。

$\therefore \{a_n \}$为柯西列，由 Cantor 基本列定理，

$\exists \xi \in \mathbb{R}, s.t. \begin{matrix} \lim_{n \to \infty}a_n = \xi. \end{matrix}$

另知$a_m \leqslant \xi \leqslant b_m$，即$\xi \in [a_m, b_m ]$。
由于$m > N ( \varepsilon )$的任意性，则$\xi \in [ a_{m+k}, b_{m+k} ]$。
又因为$[a_1, b_1] \supseteq [a_2, b_2] \supseteq \cdots \supseteq [a_m, b_m]$
所以$\xi \in [a_n, b_n], n \geqslant 1$。

再证明唯一性，设$\xi' \in [a_n, b_n], n \geqslant 1$。若$\xi \ne \xi'$，则$|\xi - \xi'| > 0$，而$|\xi - \xi'| \leqslant |b_n - a_n | \to 0~(n \to \infty )$，$\xi = \xi'$，矛盾。
故唯一性得证。

应用

证明其他等价定理。

单调有界定理

证 以递增有上界数列为例。
设$\{ x_n \}$为递增有上界数列，$M$为其上界，当$M = x_1$时，$x_n = x_1 , n \in \mathbb{N^{+}}$，
从而$\lim_{n \to \infty}x$存在。下设$x_n < M$，
将区间$[x_1 , M]$二等分，若中点$c$为$\{ x_n \}$的上界，则取$[x_1 , c]$为$[a_1, b_1]$，反之取$[c, M ]$为$[a_1, b_1]$，
于是$b_1$为$\{ x_n \}$的上界，而$a_1$不是$\{ x_n \}$的上界，且$b_1 - a_1 = \dfrac{1}{2} ( M - x_1 )$；
对$(a_1, b_1]$二等分，若中点$c_1$为$\{ x_n \}$的上界，取$[a_1, c_1]$为$[a_2, b_2]$，反之取$[c_1, b_1]$为$[a_2, b_2]$，
于是$b_2$为$\{ x_n \}$的上界，而$a_2$不是$\{ x_n \}$的上界，且$b_2 - a_2 = \dfrac{1}{2^2} ( M - x_1 )$；
如此下去，便可得闭区间列$\{ [a_n, b_n] \}_{n=1}^\infty$，其中
$b_n$为$\{ x_n \}$的上界，而$a_n$不是$\{ x_n \}$的上界，且$b_n - a_n = \dfrac{1}{2^n} ( M - x_1 ), n \in \mathbb{N^{+}}$。
于是$\lim_{n \to \infty} ( b_n - a_n ) = 0$，故$\{ [a_n, b_n] \}_{n=1}^\infty$为区间套。
由区间套定理，$\exists$唯一点$\xi, s.t. \xi \in [a_n , b_n], n \in \mathbb{N^{+}}$。

下证$\lim_{n \to \infty} x_n = \xi$。
事实上，$\forall \xi > 0, \exists N \in \mathbb{N^{+}}, s.t.$当$n \geqslant N$时有$[a_n, b_n] \subset U( \xi, \varepsilon )$，
因$a_n$不是$\{ x_n \}$的上界，故$\exists x_{n_0} > x_{N} ,$
由$\{ x_n \}$的递增性，当$n > n_0$时，有$x_N \geqslant x_{n_0} > a_n$，
又$b_n$是$\{ x_n \}$的上界，故有$x_n \leqslant b_N$。
可见当$n > n_0$时，有$x_n \in U( \xi, \varepsilon )$，
故$\lim_{n \to \infty} x_n = \xi.$

确界定理

即非空有上界的数集$S$必有上确界, 非空有下界的数集$S$必有下确界。

证: 仅证明非空有上界的数集$S$必有上确界。
(1) 要找一数$\zeta$，使其是数集$S$的上确界。$\zeta$是$\mathrm{S}$的上确界就要满足上确界定义中的两个条件: 大于$\zeta$的数不在$S$中，$\zeta$的任何邻域内有$S$中的点。这两条称为性质$\mathrm{p}$。
如果$\zeta \in [a, b]$，则闭区间$[a, b]$应有性质：任何小于$a$的数不在$S$中，$[a, b]$中至少含有$S$中的一个点，该性质即为$\mathbf{p}^*.$ 取$S$的上界为$b$，且$b \notin S$，取$a \in S, a < b$，则闭区间$[a, b]$有性质$\mathbf{p}^*$。

(2) 将闭区间$[a, b]$等分为两个闭区间，则至少有一个闭区间$[a_1, b_1]$也有性质$\mathrm{p}^*$，如此继续得一闭区间列，满足$[a, b] \supset [a_1, b_1] \supset \cdots \supset [a_n, b_n] \supset \cdots;$

$$\lim_{n \to \infty} (b_n - a_n) = \lim_{n \to \infty} 2^{-n} (b_n - a_n) = 0.$$

(3) 由区间套定理的得$\zeta$属于所有的闭区间$[a_n, b_n], n = 1, 2, \cdots$，并且每个闭区间$[a_n, b_n]$都有性质$\mathbf{p}^*$

(4) 因为$a_n \leqslant \zeta \leqslant b_n, n = 1, 2, \cdots$，且

$$\lim_{n \to \infty} ( b_n - a_n ) = 0.$$

故

$$\lim_{n \to \infty} b_n = \lim_{n \to \infty} a_n = 0.$$

由于$\forall x \in S$有$x \leqslant b n$，从而$x \leqslant \lim_{n \to \infty} b_n = \zeta$，又$\forall \varepsilon>0$，总存在$N \in \N^+$使得$\zeta - \varepsilon < a_N$，故存在$x_0 \in S \cap [a_N, b_N ]$，于是$x_0 \geqslant a_N > \zeta - \varepsilon$。因而$\zeta = \sup S.$

有限覆盖定理

（反证法）要证明的性质$\mathrm{p}$是：闭区间$[a, b]$能用$\mathrm{H}$中的有限个开区间覆盖，与$\mathrm{p}$相反的性质记作$\mathrm{p}^{-1}$；假设闭区间$[a, b]$不能用$\mathrm{H}$中的有限个开区间覆盖，将闭区间$[a, b]$等分为两个闭区间，则至少有一个闭区间$\left[a_1, b_1\right]$也有性质$\mathrm{p}^{-1}$，否则$[a, b]$有性质$\mathrm{p}$，如此继续得一闭区间列，使每个闭区间都有性质

$$p^{-1} \text{, and } [a, b] \supset [a_1, b_1 ] \supset \cdots \supset [a_n, b_n ] \supset \cdots, \lim_{n \to \infty} (b_n - a_n) = \lim_{n \to \infty} 2^{-n} (b_n - a_n ) = 0.$$

(2) 由闭区间套定理得数$\xi$属于所有的闭区间$[a_n, b_n], n = 1, 2, \cdots$并且每个闭区间$[a_n, b_n]$有性质$\mathrm{p}^{-1}$; (4) 由$\zeta \in [a, b]$和$\mathbb{H}$是$[a, b]$的开覆盖，有属于$\mathbb{H}$中的某个开区间$\zeta \in \bigcap_{n=1}^{\infty} [a_n, b_n] \subset (a_1, b_1)$和$\lim_{n \to \infty} ( b_n - a_n ) = 0$可知：存在$m \in \N^{+}$使$[a_m, b_m] \subset (a_1, b_1)$这与$[a_m, b_m]$具有性质$\mathrm{p}^{-1}$矛盾。

Bolzano-Weierstrass 定理

（反证法）已知$\exists a, b$使$a \leqslant x_n \leqslant b$。设$[a, b]$没有$E$的有限子覆盖，记$[a, b] = [a_1, b_1]$。二等分$[a_1, b_1]$，其中必有一区间含$\{ x_n \}$的无穷多项，记其为$[a_2, b_2]$，二等分$[a_2, b_2]$，如此继续下去, 便得区间套$[a_n, b_n]$满足$\forall n \in \N^+, [a_n, b_n]$含$\{ x_n \}$的无穷多项。由区间套定理可得，存在唯一的$r \in \bigcap_{n=1}^{\infty} [a_n, b_n]$使$\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} b_n = r$。因此$\exists n_1$, 使$r-1 < a_{n_1} \leqslant r \leqslant b_{n_1} < r+1$。这时存在$x_{n_1} \in [a_{n_1}, b_{n_1}]$，归纳地，$\forall k > 1, \exists n_{k}$使$r - \frac{1}{k} < a_{n_k} \leqslant r \leqslant b_{n_k} < r + \frac{1}{k}.$由$[a_{n_k}, b_{n_k}]$含$\{ x_n \}$的无穷多项知$a_{n_k} \in [a_{n_k}, b_{n_k}]$，由$a_{n_k} \leqslant x_{n_k} \leqslant b_{n_k}$，令$k\to \infty$得到$\lim_{k \to \infty} x_{n_k} = r.$所以$\{ x_n \}$存在收敛子列，证毕。

Cauchy 收敛准则

证：设$\{ x_n \}$为 Cauchy 列，即

$$\forall \varepsilon > 0, \exists N \in \N^+, \forall n > N, |x_n - x_N | \leqslant \varepsilon, \text {i.e. } x_n \in [x_N - \varepsilon, x_N + \varepsilon]$$

定义性质$P:$

$$\forall \varepsilon > 0, \exists N > 0, \forall n > N, x_n \in [x_N - \varepsilon, x_N + \varepsilon]$$

则

(1) 令$\varepsilon = \frac{1}{2}$, 则$\exists N_1$使得$\left[x_{N_1} - \frac{1}{2}, x_{N_1} + \frac{1}{2} \right]$具有性质$P$，不妨记此区间为$\left[\alpha_1, \beta_1\right]$。

(2) 令$\varepsilon = \frac{1}{2^2}$, 则$\exists N_2 ( > N_1)$使得$\left[x_{N_2} - \frac{1}{2^2}, x_{N_2} + \frac{1}{2^2} \right]$具有$P$，不妨记此区间为$\left[\alpha_2, \beta_2\right]$。

$\ldots$

(k) 令$\varepsilon = \frac{1}{2^k}$, 则$\exists N_k ( > N_{k-1})$使得$\left[x_{N_k} - \frac{1}{2^k}, x_{N_k} + \frac{1}{2^k} \right]$具有$P$，不妨记此区间为$\left[\alpha_k, \beta_k\right]$。

由此可得一闭区间套$\left\{\left[\alpha_n, \beta_n\right]\right\}$满足

1. $\left[\alpha_n, \beta_n\right] \supset\left[\alpha_{n+1}, \beta_{n+1}\right]$
2. $\left(\beta_n-\alpha_n\right)=\frac{1}{2^n}$
3. $\left[\alpha_n, \beta_n\right]$具有性质$P$，即含有某个$N > 0$后的所有项。

由闭区间套定理可知存在唯一的$\xi \in \left[ \alpha_n, \beta_n \right]$。从而$x_n \to \xi, (n \to \infty)$.

参考资料

1. 欧阳光中, 朱学炎, 金福临, 陈传璋, 《数学分析》, 高等教育出版社, 北京, 2018-08, ISBN 978-7-0404-9718-2.