区间

在实数集上，区间表示法是表示一个变量在某两个特定实数之间的一种方式。它的定义也可以推广到全序集的任意子集。

定义与表示

区间（interval）有很多种定义方法，最简单的是指出所有区间的种类，详见下文的区间的类型，借助实数集的不同结构，区间有多种等价定义：

1. 在实数轴上的通常拓扑下，区间的定义等价于连通（或道路连通）的集合。
2. 在线性空间的意义下，区间等价于实数空间中的凸子集。

在区间的表示中，圆括号表示排除，方括号表示包括。例如，开区间$(10,20]$表示所有在$10$和$20$之间的实数，但不包括$10$、包括$20$。

类型

实数一般有以下11区间，规定$a, b \in \R, a < b.$

区间形式	集合形式	类型
$(a,b)$	$\{x | a < x < b \}$	开区间	有界区间
$[a, b)$	$\{x | a \leqslant x < b \}$	半开半闭区间
$(a, b]$	$\{x | a < x \leqslant b \}$	半开半闭区间
$[a, b]$	$\{x | a \leqslant x \leqslant b \}$	闭区间
$(a, +\infty)$	$\{x | x > a \}$	开区间	无界区间
$[a, +\infty)$	$\{x | x \geqslant a \}$	半开半闭区间
$(-\infty, b)$	$\{x | x < b \}$	开区间
$(-\infty, b]$	$\{x | x \leqslant b \}$	半开半闭区间
$(- \infty, + \infty)$	$\{x | x \in \R \}$	开区间 闭区间
$[a, a]$	$\{x | x = a \}$	闭区间	单点
$\varnothing$	\	开区间 闭区间	有界区间

在实数集的通常拓扑下，所有区间的同胚类有五种：空集、单点集、非空开区间、非单点闭区间和半开半闭区间。

参考资料

1. 华东师范大学数学科学学院, 《数学分析（上）（第五版）》, 高等教育出版社, 北京, 2019-05, ISBN 978-7-0405-0694-5.