勾股定理

勾股弦定理，又名畢氏定理、畢達哥拉斯定理（Pythagorean theorem）等，是幾何學當中，關於直角三角形的一個非常重要的定理，許多三角函數的相關公式也由此而生。

此定理的證明方法非常多，至少已知有四百多種，且很多古代的民族都曾各自發現此事實。

敘述

如上圖所示，$ABC$這三邊所構成的形狀為直角三角形，其中邊$A$與邊$B$的夾角為直角，則邊$A$、邊$B$和邊$C$的長度（$A, B, C$分別代表邊$A$、邊$B$和邊$C$的長度）有以下的關係式： $$A^2+B^2=C^2$$

勾股數

邊$A$、邊$B$和邊$C$的長度有可能都是正整數，如$(3,4,5),(5,12,13),(8,15,17)$等，此些數又稱為勾股數，又稱商高數或畢氏三元數等，若$A^2+B^2=C^2$，且$A, B, C$都為正整數，則可找到兩正整數$u, v$，使得： $$A = u^2 - v^2, \quad B = 2uv, \quad C = u^2 + v^2$$ 且$(A,B,C) = 1$當且僅當$(u, v) = 1$且$u$或$v$其中一個為偶數時。

參見

• 三角形
• 三角函數
• 費馬最後定理