在矩阵代数中,为了简化矩阵运算并发现不同矩阵之间的联系,我们引入矩阵的初等变换(elementary operation)的概念,它是和矩阵乘法的意义直接相连的。初等变换包括初等行变换和初等列变换,每一种初等变换对应了一种初等矩阵(elementary matrix),当一个初等矩阵左(右)乘一个同阶方阵时,它的意义就是对这个方阵作初等矩阵对应的初等行(列)变换。
初等矩阵[]
以下总设在矩阵集合
上讨论,
。一个初等行(列)变换对应的初等矩阵,可以验证,就是将同阶单位阵作相应的初等行(列)变换。此外,这三种初等矩阵都是可逆的,它的逆也对应着相应的逆变换,逆变换就是让矩阵回到施加初等变换后的原来状态所作的变换。
第一类初等矩阵[]
对
的初等变换
:用一个数域
上的非零数
乘以
的第
行(列),变换记作
(
),它所对应的初等矩阵记为
,即

这一类初等矩阵的逆

。
可以发现,这一类初等变换对行和列的初等矩阵是一样的,后面的两种也有这个特点,初等变换对行还是列作用从初等矩阵中是反映不出来的,它是通过左还是右乘一个矩阵反映的,左乘作用于行,右乘作用于列,即“左行右列”。
第二类初等矩阵[]
对
的初等变换
:将
的第
行(列)的
倍加到第
(
)行(列)上,记为
(
),其对应的初等矩阵是
,即

这一类初等矩阵的逆

。
第三类初等变换[]
对
的初等变换
:将
的第
行(列)与第
行(列)交换,记为
(
),其对应的初等矩阵是
,即


。
矩阵的等价[]
设
,称
与
等价,记作
,如果
能经过有限次初等变换化为
,即存在一系列初等矩阵
以及
,使得

易知矩阵的等价满足如下三条性质,因此是
等价关系。
- 自反性,

- 对称性,

- 传递性,

上下节[]
参考资料