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矩阵代数中,为了简化矩阵运算并发现不同矩阵之间的联系,我们引入矩阵的初等变换(elementary operation)的概念,它是和矩阵乘法的意义直接相连的。初等变换包括初等行变换和初等列变换,每一种初等变换对应了一种初等矩阵(elementary matrix),当一个初等矩阵左(右)乘一个同阶方阵时,它的意义就是对这个方阵作初等矩阵对应的初等行(列)变换。

初等矩阵[]

以下总设在矩阵集合上讨论,。一个初等行(列)变换对应的初等矩阵,可以验证,就是将同阶单位阵作相应的初等行(列)变换。此外,这三种初等矩阵都是可逆的,它的逆也对应着相应的逆变换,逆变换就是让矩阵回到施加初等变换后的原来状态所作的变换。

第一类初等矩阵[]

的初等变换:用一个数域上的非零数乘以的第行(列),变换记作),它所对应的初等矩阵记为,即

这一类初等矩阵的逆

可以发现,这一类初等变换对行和列的初等矩阵是一样的,后面的两种也有这个特点,初等变换对行还是列作用从初等矩阵中是反映不出来的,它是通过左还是右乘一个矩阵反映的,左乘作用于行,右乘作用于列,即“左行右列”。

第二类初等矩阵[]

的初等变换:将的第行(列)的倍加到第)行(列)上,记为),其对应的初等矩阵是,即

这一类初等矩阵的逆

第三类初等变换[]

的初等变换:将的第行(列)与第行(列)交换,记为),其对应的初等矩阵是,即

矩阵的等价[]

,称等价,记作,如果能经过有限次初等变换化为,即存在一系列初等矩阵以及,使得

易知矩阵的等价满足如下三条性质,因此是等价关系

  1. 自反性,
  2. 对称性,
  3. 传递性,

上下节[]

参考资料

  1. 郭聿琦, 岑嘉评, 王正攀, 《高等代数教程》, 科学出版社, 北京, 2014-07, ISBN 978-7-0304-0417-6.
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