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在拓撲學中,列緊空間度量空間拓撲空間的一個特殊子集。列緊的概念是描述一個有界無窮點列是否存在收斂點列的事實,這一點在有限維空間是正確的,但在無窮維空間上不一定成立。

定義[]

拓撲空間[]

假設是拓撲空間,如果的任意無限子集都有聚點,我們就稱是列緊空間。的子集是列緊的,是指作為子空間是列緊空間。在有些書中稱為極限點緊空間(limit point compact space)。

度量空間[]

是一個度量空間,如果的任意無限子集都有聚點,我們就稱這個空間為列緊空間。這等價於它是序列緊緻空間,即假設的非空子集,如果中的任意點列在中都有一個收斂子列,這時也稱是列緊集,如果中的任意點列在中都有一個收斂子列,我們就稱是自列緊集。

展開例子摺疊例子

  1. Euclid 空間上的有界集是列緊集,而有界閉集是自列緊集。
  2. 實數區間上的全體連續函數全體組成的函數空間不是列緊的,考察如下函數序列
    是有界的,但沒有收斂子列。

列緊空間是完備空間

完全有界集[]

完全有界集是一個比有界集性質更強的集合,它通過網來定義:

是度量空間,設子集,如果滿足使得,則稱的一個網,如果還是有限點集,我們就稱的一個有限網。

上述概念是實數集的開覆蓋的抽象化。

假設同上,稱是完全有界集,如果都存在有限網。

Hausdorff 定理指出:完備度量空間中的列緊集和完全有界集等價。而在一般的度量空間中列緊集可以推出完全有界集,反之不真。

完全有界集是可分的

緊性[]

拓撲空間中緊集的概念為:任意開覆蓋都有有限子覆蓋。在有限維空間中因為有 Heine-Borel 定理,所以緊集和有界閉集等價,在無窮維空間中不一定成立。

在度量空間中,緊集和自列緊集等價。在一般的拓撲空間中,這可能不成立,但是可數緊緻空間是列緊空間,反過來,的列緊空間是可數緊緻空間。

Arzela-Ascoli 定理[]

由上面的第二個例子,連續函數空間中的點集不一定是列緊集,但是緊集上的連續函數空間中的子集中的函數是一致有界且等度連續的就可以說明該子集是列緊集,這就是 Arzela-Ascoli 定理。

參考資料

  1. 張恭慶, 林源渠, 《泛函分析講義(上冊)(第二版)》, 高等教育出版社, 北京, 2021-01, ISBN 978-7-3013-0964-3.

參考資料

  1. 張恭慶, 林源渠, 《泛函分析講義(上冊)(第二版)》, 高等教育出版社, 北京, 2021-01, ISBN 978-7-3013-0964-3.
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