在拓撲學中,列緊空間是度量空間和拓撲空間的一個特殊子集。列緊的概念是描述一個有界無窮點列是否存在收斂點列的事實,這一點在有限維空間是正確的,但在無窮維空間上不一定成立。
定義[]
拓撲空間[]
假設是拓撲空間,如果的任意無限子集都有聚點,我們就稱是列緊空間。的子集是列緊的,是指作為的子空間是列緊空間。在有些書中稱為極限點緊空間(limit point compact space)。
度量空間[]
設是一個度量空間,如果的任意無限子集都有聚點,我們就稱這個空間為列緊空間。這等價於它是序列緊緻空間,即假設是的非空子集,如果中的任意點列在中都有一個收斂子列,這時也稱是列緊集,如果中的任意點列在中都有一個收斂子列,我們就稱是自列緊集。
展開例子摺疊例子
列緊空間是完備空間。
完全有界集[]
完全有界集是一個比有界集性質更強的集合,它通過網來定義:
- 設是度量空間,設子集,如果滿足使得,則稱是的一個網,如果還是有限點集,我們就稱是的一個有限網。
上述概念是實數集的開覆蓋的抽象化。
假設同上,稱是完全有界集,如果都存在有限網。
Hausdorff 定理指出:完備度量空間中的列緊集和完全有界集等價。而在一般的度量空間中列緊集可以推出完全有界集,反之不真。
完全有界集是可分的。
緊性[]
拓撲空間中緊集的概念為:任意開覆蓋都有有限子覆蓋。在有限維空間中因為有 Heine-Borel 定理,所以緊集和有界閉集等價,在無窮維空間中不一定成立。
在度量空間中,緊集和自列緊集等價。在一般的拓撲空間中,這可能不成立,但是可數緊緻空間是列緊空間,反過來,的列緊空間是可數緊緻空間。
Arzela-Ascoli 定理[]
由上面的第二個例子,連續函數空間中的點集不一定是列緊集,但是緊集上的連續函數空間中的子集中的函數是一致有界且等度連續的就可以說明該子集是列緊集,這就是 Arzela-Ascoli 定理。
參考資料
- 張恭慶, 林源渠, 《泛函分析講義(上冊)(第二版)》, 高等教育出版社, 北京, 2021-01, ISBN
978-7-3013-0964-3
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函數空間(學科代碼:1105730,GB/T 13745—2009) | |
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距離空間 | 度量空間 ▪ 完備度量空間 ▪ 完備化空間 ▪ 列緊空間 ▪ Hausdorff 定理 ▪ Arzela-Ascoli 定理 |
賦范空間 | 准範數 ▪ 半範數 ▪ 範數 ▪ Frechet 空間 ▪ 賦范線性空間 ▪ Banach 空間 ▪ Riesz 引理 ▪ Minkowski 泛函 ▪ 凸集 ▪ 凸映射 |
內積空間 | 內積 ▪ 復二次型 ▪ 內積空間 ▪ Hilbert 空間 ▪ 極化恆等式 ▪ Bessel 不等式 ▪ Parseval 等式 ▪ 最佳逼近 ▪ 酉算子 ▪ 投影算子 ▪ 自伴算子 ▪ 對稱算子 ▪ 譜公式 ▪ 譜函數 |
例子 | Euclid 空間 ▪ 連續函數空間 ▪ 可積函數空間 ▪ Lp 空間 ▪ Lorentz 空間 ▪ 解析函數空間 ▪ S 空間 ▪ Lipschitz 空間 ▪ Hölder 空間 ▪ Sobolev 空間 ▪ 齊次 Sobolev 空間 ▪ Bessel 位勢空間 ▪ Besov 空間 ▪ 齊次 Bessel 位勢空間 ▪ 齊次 Besov 空間 |
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參考資料
- 張恭慶, 林源渠, 《泛函分析講義(上冊)(第二版)》, 高等教育出版社, 北京, 2021-01, ISBN
978-7-3013-0964-3
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點集拓撲學(學科代碼:1103110,GB/T 13745—2009) | |
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基本概念 | 拓撲空間 ▪ 拓撲 ▪ 開集和閉集 ▪ 閉包和內部 ▪ 外部和邊界 ▪ 聚點和導集 ▪ 連續映射 ▪ 同胚 ▪ 鄰域 ▪ 鄰域基 ▪ 拓撲基 ▪ 拓撲流形 |
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映射空間 | 點式收斂拓撲 ▪ 一致收斂拓撲 ▪ 緊緻-開拓撲 |
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