列紧空间

在拓扑学中，列紧空间是度量空间和拓扑空间的一个特殊子集。列紧的概念是描述一个有界无穷点列是否存在收敛点列的事实，这一点在有限维空间是正确的，但在无穷维空间上不一定成立。

定义

拓扑空间

假设$X$是拓扑空间，如果$X$的任意无限子集都有聚点，我们就称$X$是列紧空间。$X$的子集$A$是列紧的，是指$A$作为$X$的子空间是列紧空间。在有些书中称为极限点紧空间（limit point compact space）。

度量空间

设$(X,\rho)$是一个度量空间，如果$X$的任意无限子集都有聚点，我们就称这个空间为列紧空间。这等价于它是序列紧致空间，即假设$A$是$\mathcal {X}$的非空子集，如果$A$中的任意点列在$\mathcal {X}$中都有一个收敛子列，这时也称$A$是列紧集，如果$A$中的任意点列在$A$中都有一个收敛子列，我们就称$A$是自列紧集。

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1. Euclid 空间上的有界集是列紧集，而有界闭集是自列紧集。
2. 实数区间$[0,1]$上的全体连续函数全体组成的函数空间$C[0, 1]$不是列紧的，考察如下函数序列
   $$x_n(t) = \begin{cases} 1 - nt, & x > \dfrac{1}{n}, \\ 0, & \dfrac{1}{n} \leqslant x \leqslant 1 \end{cases}$$
   是有界的，但没有收敛子列。

列紧空间是完备空间。

完全有界集

完全有界集是一个比有界集性质更强的集合，它通过$\varepsilon$网来定义：

设$\mathcal {X}$是度量空间，设子集$M \subset \mathcal{X}$，如果$\forall \varepsilon > 0, \exists N \subset M$满足$\forall x \in M, \exists y \in N$使得$x \in B(y, \varepsilon)$，则称$N$是$M$的一个$\varepsilon$网，如果$N$还是有限点集，我们就称$N$是$M$的一个有限$\varepsilon$网。

上述概念是实数集的开覆盖的抽象化。

假设同上，称$M$是完全有界集，如果$\forall \varepsilon>0$都存在有限$\varepsilon$网。

Hausdorff 定理指出：完备度量空间中的列紧集和完全有界集等价。而在一般的度量空间中列紧集可以推出完全有界集，反之不真。

完全有界集是可分的。

紧性

拓扑空间中紧集的概念为：任意开覆盖都有有限子覆盖。在有限维空间中因为有 Heine-Borel 定理，所以紧集和有界闭集等价，在无穷维空间中不一定成立。

在度量空间中，紧集和自列紧集等价。在一般的拓扑空间中，这可能不成立，但是可数紧致空间是列紧空间，反过来，$T_1$的列紧空间是可数紧致空间。

Arzela-Ascoli 定理

由上面的第二个例子，连续函数空间中的点集不一定是列紧集，但是紧集上的连续函数空间中的子集中的函数是一致有界且等度连续的就可以说明该子集是列紧集，这就是 Arzela-Ascoli 定理。

参考资料

1. 张恭庆, 林源渠, 《泛函分析讲义（上册）（第二版）》, 高等教育出版社, 北京, 2021-01, ISBN 978-7-3013-0964-3.

参考资料

1. 张恭庆, 林源渠, 《泛函分析讲义（上册）（第二版）》, 高等教育出版社, 北京, 2021-01, ISBN 978-7-3013-0964-3.