切线面是一种可展曲面，给定一条正则曲线，它在每一点处的切线的全体也构成一个直纹面，且是可展曲面，称其为切线面。
假设有向量值函数确定的正则曲线 r ( u ) , u ∈ [ a , b ] {\displaystyle \boldsymbol{r}(u), u \in [a, b]} ，那么它的切线全体构成的曲面方程为 r ( u , v ) = r ( u ) + v r ′ ( u ) . {\displaystyle \boldsymbol{r}(u, v) = \boldsymbol{r}(u) + v \boldsymbol{r}'(u).}
判断一个可展曲面是否为切线面的方法是：它不是柱面和锥面即可。由于可展曲面 r ( u , v ) = a ( u ) + v b ( u ) {\displaystyle \boldsymbol{r}(u, v) = \boldsymbol{a}(u) + v \boldsymbol{b}(u)} 满足 ( a ′ ( u ) , b ( u ) , b ′ ( u ) ) = 0. {\displaystyle (\boldsymbol{a}'(u), \boldsymbol{b}(u), \boldsymbol{b}'(u)) = 0.} 当 b ( u ) , b ′ ( u ) {\displaystyle \boldsymbol{b}(u), \boldsymbol{b}'(u)} 线性相关时显然它是柱面。下设 b ( u ) , b ′ ( u ) {\displaystyle \boldsymbol{b}(u), \boldsymbol{b}'(u)} 线性无关，并设 a ′ ( u ) = λ ( u ) b ( u ) + μ ( u ) b ′ ( u ) . {\displaystyle \boldsymbol{a}'(u) = \lambda(u) \boldsymbol{b}(u) + \mu(u) \boldsymbol{b}'(u).} 令 a ^ ( u ) = a ( u ) − μ ( u ) b ( u ) . {\displaystyle \boldsymbol{\hat{a}}(u) = \boldsymbol{a}(u) - \mu(u) \boldsymbol{b}(u).} 那么 a ^ ′ ( u ) = a ′ ( u ) − μ ′ ( u ) b ( u ) − μ ( u ) b ′ ( u ) = ( λ ( u ) − μ ′ ( u ) ) b ( u ) . {\displaystyle \begin{align} \boldsymbol{\hat{a}}'(u) &= \boldsymbol{a}'(u) - \mu'(u) \boldsymbol{b}(u) - \mu(u) \boldsymbol{b}'(u) \\ &= (\lambda(u) - \mu'(u)) \boldsymbol{b}(u). \end{align}} 当 a ^ ′ ( u ) = 0 {\displaystyle \boldsymbol{\hat{a}}'(u) = 0} 即 λ ( u ) = μ ′ ( u ) {\displaystyle \lambda(u) = \mu'(u)} 时， a ^ ( u ) {\displaystyle \boldsymbol{\hat{a}}(u)} 是常向量，不妨设其为 a 0 {\displaystyle \boldsymbol{a}_0} ，那么 r ( u , v ) = a 0 + ( μ ( u ) + v ) b ( u ) . {\displaystyle \boldsymbol{r}(u, v) = \boldsymbol{a}_0 + (\mu(u)+v) \boldsymbol{b}(u).} 显然是锥面。以下假设 a ^ ′ ( u ) ≠ 0 {\displaystyle \boldsymbol{\hat{a}}'(u) \ne 0} ，因此 r ( u , v ) = a ^ ( u ) + μ ( u ) + v λ ( u ) − μ ′ ( u ) a ^ ′ ( u ) . {\displaystyle \boldsymbol{r}(u, v) = \boldsymbol{\hat{a}}(u) + \dfrac{\mu(u)+v}{\lambda(u)-\mu'(u)} \boldsymbol{\hat{a}}'(u).} 是切线面。
978-7-0405-6950-6
![{\displaystyle {\boldsymbol {r}}(u),u\in [a,b]}](https://services.fandom.com/mathoid-facade/v1/media/math/render/svg/e08e37223d9aec729a0e23fb78f2d0da06a0aa47)
，那么它的切线全体构成的曲面方程为
满足
当
线性相关时显然它是柱面。下设线性无关，并设
令
那么
当
即
时，
是常向量，不妨设其为
，那么
显然是锥面。以下假设
，因此
是切线面。
