切线面

切线面是一种可展曲面，给定一条正则曲线，它在每一点处的切线的全体也构成一个直纹面，且是可展曲面，称其为切线面。

方程

假设有向量值函数确定的正则曲线$\boldsymbol{r}(u), u \in [a, b]$，那么它的切线全体构成的曲面方程为

$$\boldsymbol{r}(u, v) = \boldsymbol{r}(u) + v \boldsymbol{r}'(u).$$

反解出曲线

判断一个可展曲面是否为切线面的方法是：它不是柱面和锥面即可。由于可展曲面$\boldsymbol{r}(u, v) = \boldsymbol{a}(u) + v \boldsymbol{b}(u)$满足

$$(\boldsymbol{a}'(u), \boldsymbol{b}(u), \boldsymbol{b}'(u)) = 0.$$

当$\boldsymbol{b}(u), \boldsymbol{b}'(u)$线性相关时显然它是柱面。下设$\boldsymbol{b}(u), \boldsymbol{b}'(u)$线性无关，并设

$$\boldsymbol{a}'(u) = \lambda(u) \boldsymbol{b}(u) + \mu(u) \boldsymbol{b}'(u).$$

令$\boldsymbol{\hat{a}}(u) = \boldsymbol{a}(u) - \mu(u) \boldsymbol{b}(u).$那么

$$\begin{align} \boldsymbol{\hat{a}}'(u) &= \boldsymbol{a}'(u) - \mu'(u) \boldsymbol{b}(u) - \mu(u) \boldsymbol{b}'(u) \\ &= (\lambda(u) - \mu'(u)) \boldsymbol{b}(u). \end{align}$$

当$\boldsymbol{\hat{a}}'(u) = 0$即$\lambda(u) = \mu'(u)$时，$\boldsymbol{\hat{a}}(u)$是常向量，不妨设其为$\boldsymbol{a}_0$，那么

$$\boldsymbol{r}(u, v) = \boldsymbol{a}_0 + (\mu(u)+v) \boldsymbol{b}(u).$$

显然是锥面。以下假设$\boldsymbol{\hat{a}}'(u) \ne 0$，因此

$$\boldsymbol{r}(u, v) = \boldsymbol{\hat{a}}(u) + \dfrac{\mu(u)+v}{\lambda(u)-\mu'(u)} \boldsymbol{\hat{a}}'(u).$$

是切线面。

参考资料

1. 彭家贵, 陈卿, 《微分几何（第2版）》, 高等教育出版社, 北京, 2011-11, ISBN 978-7-0405-6950-6.