切丛

一个流形的切丛是三维曲面的切平面的高维推广。

坐标表示[]

切丛的概念是描述一个流形的其上一点的线性近似，用多元函数的方向导数的观点来看就是收集了给定不同方向的一个局部向量场。在这样的观点下我们着手用直观的方法来描述切丛（切空间）。

假设 $M$ 是一个 $n$ 维 $C^\infty$ 流形（下称光滑流形），其上有一点 $P \in M$ ，在这一点有一个局部坐标系 $(U_P, \psi_P)$ 使得 $\psi_P: U_P \to V \subset \R^n$ 是同胚， ${\displaystyle V_{P} }$ 是开集，因此借助同胚我们可以用 ${\displaystyle V_{P} }$ 上的方向导数来描述对应点 $P$ 关于某个方向的“切向量”。

很容易我们可以想到的是，将对于流形上的函数 $f:M\to\mathbb{R}$ 做局部表示 $\tilde{f} = f \circ \psi_P$ ，定义 ${\displaystyle \begin{align} df: M \times \R^n & \to \R \times \R, \\ (P, u) & \mapsto (f(P), \nabla \tilde{f} \cdot u|_{\psi_P(P)}) \end{align}}$ 其中 $\nabla \tilde{f} \cdot u$ 是 $\tilde f$ 沿着 $u \in \R^n$ （由于我们无法直接描述流形上一点的切向量，实际上这正是我们要去定义的，所以我们选择了 $\R^n$ 中的向量）的方向导数。于是 $df$ 描述了给定方向的切向量，且该向量的起点在流形上，即 $P \in M.$

这样做的一个问题是，这样确定的切方向是不是几何不变量，因为我们知道，一个光滑流形有不同的参数表示，如果还用另外一个点 $P$ 的局部坐标系 $(U'_P, \varphi_P)$ 会不会导致定义歧义？为了解决这个问题，我们可以用等价类的观点来看切空间。

切空间是商空间[]

我们要把不同参数表示在同一点的切向量都看作一样的前提是，有一个足够大的切空间几何允许我们在其上定义等价关系，实际上这个集合是如下引出的 $\mathcal{E}$ ：

给定一

n

维光滑流形

M

，它有一族开覆盖

\mathcal{O} = \bigcup_{i \in I} \{ (U_i, \varphi_i) \}

，由此可以定义乘积

U_i \times \R^n

的分离集

\mathcal{R} = \bigcup_{i \in I} (U_i \times \R^n)

，我们把

\mathcal{E}

中的点用

(i, P, u)

表示，这里

$i$ 是覆盖指标，它对应了一个开覆盖中的局部坐标系 $(U_i, \varphi_i)$ 。
$P$ 是我们选的 $M$ 上的点，定义切空间就是相对 $P$ 来说的。
$u$ 是我们考察的过 $P$ 的切空间上的切方向的参考方向，它在 $\R^n$ 中，通过同胚和切方向联系起来。

显然这个大集合包含了不同的参数表示。因此引入如下等价关系 $\sim$ ：称 $(i, P, u) \sim (j , Q, v)$ 如果

$P = Q.$ 这是容易理解的，我们必须要求切向量唯一和 $M$ 上的点对应。
$v = d\varphi_{ji} (\varphi_i(P), u)$ ，这一点就保证了不同的参数表示下对应的切方向是一样的，即切方向是几何不变量。这里 $\varphi_{ji} = \varphi_j \circ \varphi_i^{-1}: \varphi_i(U_i \cap U_j) \to \varphi_j(U_i \cap U_j)$ 是迁移函数（也就是不同参数间的变换）。

可以验证上述关系确实是等价关系，因此我们定义商空间 $\mathcal{E}/\sim$ 为“切丛”，也记作 $T(M)$ ，注意：它其中的元素 $[i, P, u]$ 和局部坐标系的选择依然有关，当然也和点 $P \in M$ 以及切向量 $u \in \R^n$ 有关。给定一点 $P \in M$ 的商空间记作 $T_P(M).$

性质[]

我们简单罗列几个商空间 $T(M)$ 的性质：

$T(M)$ 是拓扑空间。
假设 $\pi: T(M) \to M$ 是自然满射， $\pi([i, P, u]) = P.$ 那么映射 $\begin{align} t: \R^n & \to T_P(M) = \pi^{-1}(P), \\ u & \mapsto [i, P, u] \end{align}$ 是线性同构。因此这是我们称 $T_P(M)$ 是切“空间”的依据。
$T_P(M) \cap T_Q(M) = \varnothing \iff P \ne Q.$ 上一条的直接推论。
$T(M)$ 是流形。

内蕴表示[]

和坐标表示不同的是，我们可以采用流形本身的性质来描述切空间 $T_P(M)$ ，即直接从流形本身的几何不变量出发。但是我们无法回避的是切向量的方向，如果我们不采用导数来直接描述，那么一种可行的手法是公理化导数，这在线性泛函分析里已被导算子的概念解决。

函数空间

X

上的导算子

D

是满足 Leibniz 法则的线性算子。

芽类[]

我们要利用上述导算子的概念，就必须引入流形上点 $P \in M$ 的邻域 $U_P$ 上的函数类，我们称定义在 $P$ 的两个邻域 $U, V \subset M$ 上的函数 $f, g$ 若满足存在 $P \in W \subset U \cap V$ 满足 $f(Q) = g(Q), \forall Q \in W.$ 我们就说 $(U, f), (V, g)$ 两个函数等价，等价类 $[U, f]$ 也称为芽类（germ class），记作 $\mathcal{F}_P.$ 我们用 $f$ 简记 $[U, f].$

令 $D_P$ 是 $\mathcal{F}_P$ 上的全体导算子的集合，显然它是线性空间，我们就称它是切空间，可以证明存在线性同构 $\alpha: T_P(M) \to D_P$ 因此上述定义的两个概念是相容的。

上述映射的具体定义是：取 $t = [i, P, u] \in T_P(M), f \in \mathcal{F}_P$ ，那么 $f$ 在局部坐标系 $(U_i, \varphi_i)$ 上有表示 $f_i = f \circ \varphi_i^{-1}.$ 导算子 $\alpha(t)$ 定义为： $\alpha(t)(f) = (\nabla f_i \cdot u)(\varphi_i(P)).$

基底[]

切空间 $T_P(M)$ 的基底可以使用内蕴方法定义。假设 $t_j = [i, P, e_j]$ 其中 $e_j \in \R^n$ 是第 $j$ 个分量为1而其他分量为零的标准向量，那么有形式记号 $\alpha(t_j) = \dfrac{\partial}{\partial x_j}.$ 这其实是 $\R^n$ 的对偶空间中的元素，上述形式表示就是一组 $T_P(M)$ 的基底。