分配格

在格论中，分配格（distributive lattice）是满足“分配律”的格。

次分配律

设$(S, \leqslant)$是一个格，设$\forall a, b, c \in S$，则在其中成立着次分配律：

1. 交对并的次分配律：$(a \land b) \lor (a \land c) \leqslant a \land (b \lor c);$
2. 并对交的次分配律：$a \lor (b \land c) \leqslant (a \lor b) \land (a \lor c);$
3. 轮换的次分配律：$(a \land b) \lor (b \land c) \lor (c \land a) \leqslant (a \lor b) \land (b \lor c) \land (c \lor a).$

一般来说，上面的小于等于不能加强为等于。

分配格

但可以证明以下三个条件是等价的（从其中一条可推出另两条）：

1. 交对并的分配律：$\forall a, b, c \in S, a \land (b \lor c) = (a \land b) \lor (a \land c);$
2. 并对交的分配律：$\forall a, b, c \in S, a \lor (b \land c) = (a \lor b) \land (a \lor c);$
3. 轮换的分配律：$(a \land b) \lor (b \land c) \lor (c \land a) = (a \lor b) \land (b \lor c) \land (c \lor a).$

我们称满足其中一条的格为一个分配格。

例如，

1. 集合$S$的幂集$2^S$连同集合的包含关系构成一分配格$(2^S, \subseteq).$
2. 全序格（即格$(S, \leqslant)$上的序关系$\leqslant$是全序关系）一定是分配格，因此$(\N^+, \leqslant)$是一分配格。

分配律的推广

格上的分配律可做如下有限运算的推广：假设$a \in S, a_i \in S, i = 1,2,\cdots,n$，那么有

1. $a \land \left( \bigvee_{k=1}^n a_k \right) = \bigvee_{k=1}^n (a \land a_k);$
2. $a \lor \left( \bigwedge_{k=1}^n a_k \right) = \bigwedge_{k=1}^n (a \lor a_k).$

双消律

分配格有双消律（这在一般的格上不一定有）： $$\forall a, b, c \in S, (a \land b = a \land c) \And (a \lor b = a \lor c) \quad \Longleftrightarrow \quad b = c.$$ 上述左端的两个条件缺一不可。双消律并不是分配的的充要条件，存在着不是分配格的格也成立上述条件。

Birkhoff 定理

设$(S, \leqslant)$是一格，它是一个分配格当且仅当其任意一个子格不与下面两个之一同构。

这是通过格的图简易判断一个格是否为分配格的方法。上面两个格分别记作$M_5, N_5.$这两个记号是约定俗成的。

中心

假设$L$是有界分配格，它的中心$C(L)$是所有$L$中有补元的元素的集合。$C(L)$是$L$的子格。利用中心的概念可以对格进行直积分解。

参考资料

1. S. Burris, H. P. Sankappanavar, A Course in Universal Algebra, GTM Vol.78, Springer, New York, 2011-10, ISBN 978-1-4613-8132-7.