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分部积分法是求各种积分问题的有力工具。

方法[]

从求导公式中受到启发,如果两边同时求积分,则有。于是

这可以把复杂难求的积分问题转换为求导问题。 一般应用这个方法时先要使用凑微分法凑出,该方法必要时可重复使用。

类型[]

幂指型/幂三角型[]

如果被积函数是幂函数(或多项式函数)与指数函数(或三角函数)的乘积,那么对指数函数(或三角函数)凑微分。

例如

幂对型/幂反三角型[]

如果被积函数是幂函数(或多项式函数)与对数函数(或反三角函数)的乘积,那么对幂函数(或多项式函数)凑微分。

例如

回归型[]

常见于指数函数和三角函数乘积形式,需要通过解方程或二次分部积分得出答案。

例如

对第一个积分,有

对第二个积分,有
由以上两个方程,即可解出相应的积分值。

消去型[]

两个积分都单独求不出,但是对其中一个分部后可以和另一个消掉的类型。

例如

上下节[]

参考资料

  1. 欧阳光中, 朱学炎, 金福临, 陈传璋, 《数学分析》, 高等教育出版社, 北京, 2018-08, ISBN 978-7-0404-9718-2.
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