分數

漫談分數

分數的分字，含有分開、部份的意思。而拉丁文中，分數源自frangere這字，意思是打破、斷裂。

公元前1900年，巴比倫人就利用分母是60的分數來記錄數量。古埃及人也利用分數來記數，但當時記數的分數只是個符號。

其實早於商周年代，中國人已經懂得應用分數的概念，秦始皇統一中國後，擬出一年有三百六十五又四分之一天。《九章算術》是中國古代的數學理論名著，內容已提及到分數，並採用分子、分母、約分等數學名詞，我們至今仍有沿用。

在歐洲，把分數看作是兩個整數相除的商，以及分子可以大於分母數目的概念，要到16世紀才發展出來，與中國相較，遲了接近一千年。

分數的認識

分數的意義

計算分數時，商不一定是整數，在這種情況下，就要把一個單位平均分成若干分，以其中的一份或數份來表示所得的結果，這樣便產生了分數。

換句話說，分數就是把單位1平均分成若干等分後，其中1份或數份的數目。一個蛋糕平均分成3份，其中一份的數目便是$\frac{1}{3}$。一件薄餅平均分成5份，取去3份，就是取去$\frac{3}{5}$件薄餅。

分數加減法

分數相加，要先通分母，分線下之數字。較易之法，為把兩個分母相乘，然後各分子亦要乘回其分母所乘之數。

例如︰

$\frac{1}{3} + \frac{1}{4}$

分母相乘以後，再通其分子，得以下數式

$= \frac{1{\color{red}\times4}}{3{\color{red}\times4}} + \frac{1{\color{red}\times3}}{4{\color{red}\times3}}$

$= \frac{4}{12} + \frac{3}{12}$

分子相加後得取結果

$= \frac{4 + 3}{12}$

$= \frac{7}{12}$

減法亦類似於加法，亦要先通分母。再以前者分子減去後者，得一分數，可嘗試分子分母相約以取最簡單分數。

例如︰

$\frac{3}{4} - \frac{5}{48}$

$= \frac{3{\color{red}\times12}}{4{\color{red}\times12}} - \frac{5}{48}$

$= \frac{36}{48} - \frac{5}{48}$

$= \frac{36-5}{48}$

$= \frac{31}{48}$

而帶分數的減法，例如：

$36-11-11\frac{11}{36}$

我們可以計做$36-11-11-\frac{11}{36}$

先計算整數的部份：$36-11-11=14$

再計算分數的部份：$14-\frac{11}{36}$

$=13\frac{36-11}{36}$

$=13\frac{25}{36}$

分數乘除

分數相乘，分子分母各自相乘，再試約簡，即為答案。

$\frac{1}{3} \times \frac{1}{4}$

$= \frac{1\times1}{3\times4}$

$= \frac{1}{12}$

而除法，則需把後者上下顛倒，約簡後相乘即可。

$\frac{1}{6} \div \frac{1}{8}$

$= \frac{1}{6} \times \frac{8}{1}$

$= \frac{1\times8}{6\times1}$

$= \frac{8/2}{6/2}$

$= \frac{4}{3}$

可寫作帶分數。

$= 1 \frac{1}{3}$

分數四則

• $[1\frac{7}{11} \div \frac{1}{2} -1-(\frac{36}{25}- \frac{11}{25})] \times \frac{198}{7}-11- \frac{11}{25} \times (36-11)$

$=[\frac{18*2}{11} -\frac{11}{11}-\frac{36-11}{25}] \times \frac{198}{7}-11-\frac{11(36-11)}{25}$ (36—11=25)

$=\frac{36-11-11}{11} \times \frac{198}{7}-11-11$ (36—11—11=14)

$= 36-11-11=14$

• $71 \div \frac{1}{16} - (\frac{36}{ \frac{36}{11} -1 } - \frac{11}{\frac{36}{11} -1 } )$

$=71 \times 16 - (\frac{36}{ \frac{36-11}{11}} - \frac{11}{\frac{36-11}{11}})$

$=1136 - (\frac{36-11}{\frac{36-11}{11}})$

$=1136 - ((36-11) \times \frac{11}{36-11})$

$=1136-11=1125$