分式线性变换

在解析变换中，分式线性变换是一类基本的解析变换，由于对其的大量研究由数学家 Mobius 完成 ，又被称为 Mobius 变换。

概念

我们将如下形式的解析变换称作分式线性变换，其中$ad - bc \ne 0.$ $$w = L(z) = \dfrac{az+b}{cz+d}.$$ 在扩充复平面上，我们作如下补充定义：

1. 当$c \ne 0$时，$L\left( -\dfrac{d}{c} \right) = \infty, L(\infty) = \dfrac{a}{c}.$
2. 当$c = 0$时，$L(\infty) = \infty.$

这样，分式线性变换$L(z)$在扩充复平面上单值解析且有逆变换 $$z = L^{-1}(w) = -\dfrac{dw-b}{cw-a}.$$

不动点

我们称$z = L(z)$的点$z_0$为分式线性变换的不动点，这实际上就是说不定点在改变换的作用下在扩充复平面上的位置保持不变。我们断言分式线性变换总有两个不动点（可能重合）。

1. 当$c \ne 0$时，不动点符合方程$cz^2+(d-a)z-b = 0$，该二次方程总有两个复数根（重根按重数计算）；
2. 当$c = 0$时，方程$(d-a)z = b$，当$d \ne a$时该方程有一个解$z = \dfrac{b}{d-a}$，此外注意到$L(z) = \dfrac{a}{d}z+\dfrac{b}{d}$，因此无穷$z=\infty$也是它的一个不动点；
3. 当$a = d \ne 0, c = 0$时我们约定$z=\infty$是它的二重不动点。

矩阵表示

对于分式线性变换$w = L(z) = \dfrac{az+b}{cz+d}.$我们称矩阵$L = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$为该线性变换的矩阵，一些有关于线性变换的运算可以用矩阵运算进行，例如

1. $w = L(z) = \dfrac{az+b}{cz+d}$的逆变换$z = L^{-1}(w)$对应的矩阵是$L^{-1}.$
2. $w = L(z) = \dfrac{az+b}{cz+d}$和$p = M(w) = \dfrac{ew+f}{gw+h}$的合成$p = M(L(z))$对应的矩阵是$\begin{pmatrix} e & f \\ g & h \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$

典型分解

一个分式线性变换可以分解为更简单的一下两种变换的复合：

1. 整线性变换：$w = kz+b~(k \ne 0);$
2. 反演变换：$w = \dfrac{1}{z}.$

这是因为：

1. 当$c = 0$时，$L(z) = \dfrac{a}{d}z+\dfrac{b}{d}$已经是一个整线性变换；
2. 当$c \ne 0$时，$L(z) = \dfrac{bc-ad}{c} \cdot \dfrac{1}{cz+d} + \dfrac{a}{c}.$可以认为先进行一次整线性变换$\xi = cz+d$再进行一次反演变换$\eta = \dfrac{1}{\xi}$最后又进行一次整线性变换$w = \dfrac{bc-ad}{c} \eta + \dfrac{a}{c}$。

整线性变换

对于$w = kz+b$，令$k = R \text{e}^{\text{i}\theta}$，由复数乘法的几何意义，该变换可以是先对$z$旋转$\theta$角度，再伸缩$R$的倍数，再沿着复数$b$的方向平移$|b|$的长度即可完成该变换。

整线性变换的命名由来是$w = kz+b$是一个一次线性整函数。该变换完成了一相似操作，但是它的相似实在规定方向的意义下的，不包含镜面反射的情形。

反演变换

对于$w = \dfrac{1}{z}$，它可以分为以下两个有明显的几何意义的变换

1. 圆对称：$\xi = \dfrac{1}{\overline{z}};$
2. 共轭：$w = \overline{\xi}.$

对于第一个变换，它是基于单位圆的一种对称，第二个变换是一个沿实轴的轴对称。按照射影定理，该过程可由下图进行

我们规定，在上述作用下，$z=0$和$z=\infty$互为反演。

共形性质

分式线性变换在扩充复平面上是一个共形映射，在一般的点处可以验证这是正确的，在无穷远点处我们要稍加说明：两个曲线在无穷远处的夹角规定为它们反演变换之后的像曲线在原点处的夹角，这样在无穷处的保角性就有了明确定义，而我们不考虑在无穷处的伸缩率不变性。

此外，分式线性变换还将扩充复平面上的圆周（直线作为其特例经过了复球面上的零点和无穷远点）映成圆周，这是分式线性变换的保圆性。

称两个点$z_1, z_2$关于圆周$C: |z - z_0| = R$对称，是指它们都在经过$z_0$的同一条射线上，且满足 $$|z_1 - z_0| \cdot |z_2 - z_0| = R^2.$$ 我们规定，$z=0$和$z=\infty$关于圆周$C: |z - z_0| = R$对称。可以证明，分式线性变换将关于圆周$C$对称的两点$z_1, z_2$映成关于像曲线（圆周）$L(C)$对称的两点$L(z_1), L(z_2)$，这是分式线性变换的保对称点性。

分式线性变换的另外一个重要性质是保交比性，我们称关于给定的四点$z_1, z_2, z_3, z_4$的如下常数 $$(z_1, z_2, z_3, z_4) = \dfrac{z_4 - z_1}{z_4 - z_2} : \dfrac{z_3 - z_1}{z_3 - z_2}$$ 为这四点的交比，我们规定，如果其中有一个为$\infty$，就定义含有无穷的那些分子或分母为1，例如 $$(\infty, z_2, z_3, z_4) = \dfrac{1}{z_4 - z_2} : \dfrac{1}{z_3 - z_2}$$ 可以证明，分式线性变换$L(z)$下的交比不变，即$(z_1, z_2, z_3, z_4) = (L(z_1), L(z_2), L(z_3), L(z_4)).$

一分式线性变换将上半平面映为上半平面的充要条件是$a,b,c,d$都是实数且$|L| > 0.$

解析自同构

一个将单位圆内部区域变为自身，且将圆内某一定点$z_0$变为圆心的解析变换是且仅是如下形式的变换 $$w = \dfrac{z_0}{|z_0|} \dfrac{z - z_0}{1 - \overline{z_0}z}.$$

唯一确定定理

对于一个分式线性变换$w = L(z)$，我们仅需知道三个点$z_1, z_2, z_3$及它们的像点$w_1, w_2, w_3$，那么该分式线性变换便可唯一确定，并且可以写成 $$(z_1, z_2, z_3, z) = (w_1, w_2, w_3, w).$$ 即 $$\dfrac{w - w_1}{w - w_2} : \dfrac{w_3 - w_1}{w_3 - w_2} = \dfrac{z - z_1}{z - z_2} : \dfrac{z_3 - z_1}{z_3 - z_2}.$$

上下节

• 上一节：解析变换
• 下一节：共形映射

参考资料

1. 钟玉泉, 《复变函数论（第五版）》, 高等教育出版社, 北京, 2021-03, ISBN 978-7-0405-5587-5.