分布函数

分布函数（distribution function）是分析（测度论）中的概念，它是通过一个函数的无穷开区间的原象定义的。概率论中的概率分布也是这样的概念。

概念

假设有测度空间$(X, \mu)$以及可测函数$f: X \to \C$，定义函数

$${\begin{aligned}a_{f}(\lambda ):[0,+\infty )&\to [0,+\infty ],\\\lambda &\mapsto \mu (\{x\in X:|f(x)|>\lambda \}).\end{aligned}}$$

称为$f$的分布函数，这里我们允许它的函数值为无穷，因此可能不是一般意义下的函数。它是递减的。

特别地，我们比较关注$L^p$空间中的分布函数，这时分布函数和$L^p$范数有如下关系式${\displaystyle }$

假设$f$是σ有限的测度空间$X$上的可测函数，则对$1 \leqslant p < +\infty$成立

$$\|f\|_{L^{p}(X)}^{p}=p\int _{\mathbb {R} ^{+}}\lambda ^{p-1}a_{f}(\lambda )\mathrm {d} \lambda .$$

一般的，我们有

假设$\varphi$是$[0, + \infty)$上的递增连续可微函数，且$f$是σ有限的测度空间$X$上的可测函数，那么

$$\int _{X}\varphi (|f|)\mathrm {d} \mu =\int _{\mathbb {R} ^{+}}\varphi '(\lambda )a_{f}(\lambda )\mathrm {d} \lambda .$$

关于这个定理/命题的证明，单击这里以显示/折叠

直接计算并应用 Fubini 定理。

$${\begin{aligned}\int _{\mathbb {R} ^{+}}\varphi '(\lambda )a_{f}(\lambda )\mathrm {d} \lambda &=\int _{\mathbb {R} ^{+}}\varphi '(\lambda )\int _{X}\chi _{\{x\in X:|f(x)|>\lambda \}}(x)\mathrm {d} \mu \mathrm {d} \lambda \\&=\int _{X}\int _{\mathbb {R} ^{+}}\varphi '(\lambda )\chi _{\{x\in X:|f(x)|>\lambda \}}(x)\mathrm {d} \lambda \mathrm {d} \mu \\&=\int _{X}\int _{0}^{|f(x)|}\varphi '(\lambda )\mathrm {d} \lambda \mathrm {d} \mu \\&=\int _{X}\varphi (|f|)\mathrm {d} \mu .\\\end{aligned}}$$

这里允许$\varphi$有可列个间断点，不过上述积分将会被解释为 Lebesgue-Stieltjes 积分。

基本性质

假设$f, g$是可测空间$(X, \mu)$中的复值可测函数，我们有

1. $a_f$具有右连续性以及单调减性。（点击查看证明/解答）
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   $a_f$具有右连续性以及单调减性。

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   单调性是直接计算得到的：对任意的$\lambda _{1}\geqslant \lambda _{2}\geqslant 0$，我们有

   $${\begin{aligned}a_{f}(\lambda )&=\mu \{x\in X:|f(x)|>\lambda _{1}\}\\&\leqslant \mu \{x\in X:|g(x)|\geqslant |f(x)|>\lambda _{2}\}\\&=a_{g}(\lambda _{2}).\end{aligned}}$$

   对于有连续性，我们要证明对任意的$\lambda \in [0,+\infty )$以及递减的非负列$\{\varepsilon _{n}\}$成立

   $$a_{f}(\lambda )=\lim _{n\to \infty }a_{f}(\lambda +\varepsilon _{n}).$$

   实际上这是单调收敛定理以及单调性的直接结果。

   $$a_{f}(\lambda +\varepsilon _{n})\supset a_{f}(\lambda +\varepsilon _{n+1}),\quad \forall n\in \mathbb {N} .$$

   注意分布函数可以不是严格单调的（例如示性函数的分布函数），也未必有$\lim _{\lambda \to +\infty }a_{f}(\lambda )=0$（这个极限成立当且仅当$f$是几乎处处有限的可测函数）。

2. $|f|\leqslant |g|$几乎处处成立，蕴含$a_{f}\leqslant a_{g}$处处成立。（点击查看证明/解答）
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   $|f|\leqslant |g|$几乎处处成立，蕴含$a_{f}\leqslant a_{g}$处处成立。

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   对任意的$\lambda \geqslant 0$我们有

   $${\begin{aligned}a_{f}(\lambda )&=\mu \{x\in X:|f(x)|>\lambda \}\\&=\mu \{x\in X:|g(x)|\geqslant |f(x)|>\lambda \}\\&\leqslant \mu \{x\in X:|g(x)|>\lambda \}\\&=a_{g}(\lambda ).\end{aligned}}$$
3. 假设$c\in \mathbb {C} \setminus \{0\}$，那么$a_{cf}(\lambda )=a_{f}\!\left({\dfrac {\lambda }{|c|}}\right).$（点击查看证明/解答）
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   假设$c\in \mathbb {C} \setminus \{0\}$，那么$a_{cf}(\lambda )=a_{f}\!\left({\dfrac {\lambda }{|c|}}\right).$

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   对任意的$\lambda \geqslant 0$我们有

   $${\begin{aligned}a_{cf}(\lambda )&=\mu \{x\in X:|cf(x)|>\lambda \}\\&=\mu \{x\in X:|f(x)|>\lambda /|c|\}\\&=a_{f}(\lambda /|c|).\end{aligned}}$$

4. $a_{f+g}(\lambda _{1}+\lambda _{2})\leqslant a_{f}(\lambda _{1})+a_{g}(\lambda _{2}).$（点击查看证明/解答）
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   $a_{f+g}(\lambda _{1}+\lambda _{2})\leqslant a_{f}(\lambda _{1})+a_{g}(\lambda _{2}).$

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   对任意的$\lambda _{1},\lambda _{2}\geqslant 0$我们有

   $${\begin{aligned}a_{f+g}(\lambda _{1}+\lambda _{2})&=\mu \{x\in X:|f(x)+g(x)|>\lambda _{1}+\lambda _{2}\}\\&\leqslant \mu \{x\in X:|f(x)|+|g(x)|\geqslant \lambda _{1}+\lambda _{2}\}\\&\leqslant \mu \{x\in X:|f(x)|>\lambda _{1}\}+\mu \{x\in X:|g(x)|>\lambda _{2}\}\\&=a_{f}(\lambda _{1})+a_{g}(\lambda _{2}).\end{aligned}}$$

   最后一个不等式是因为

   $$\{x\in X:|f(x)|>\lambda _{1}\}\cup \{x\in X:|g(x)|>\lambda _{2}\}\supset \{x\in X:|f(x)|+|g(x)|\geqslant \lambda _{1}+\lambda _{2}\}.$$

   这是因为令上面三个集合依次为$S_{1},S_{2},S$，那么对几乎处处的$x\in S$成立可以推出下面任一命题成立

   $x\in S_{1}$

   $x\in S\setminus S_{1}$，这时我们有$|f(x)|+|g(x)|>\lambda _{1}+\lambda _{2}$同时$|f(x)|\leqslant \lambda _{1}$，于是$|g(x)|=|f(x)|+|g(x)|-|f(x)|>\lambda _{2}$即$x\in S_{2}.$

   不管哪种情况我们都有几乎处处的$x\in S_{1}\cup S_{2}.$

5. $a_{fg}(\lambda _{1}\lambda _{2})\leqslant a_{f}(\lambda _{1})+a_{g}(\lambda _{2}).$（点击查看证明/解答）
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   $a_{fg}(\lambda _{1}\lambda _{2})\leqslant a_{f}(\lambda _{1})+a_{g}(\lambda _{2}).$

   关于这个定理/命题的证明，单击这里以显示/折叠

   对任意的$\lambda _{1},\lambda _{2}\geqslant 0$我们有

   $${\begin{aligned}a_{fg}(\lambda _{1}\lambda _{2})&=\mu \{x\in X:|f(x)g(x)|>\lambda _{1}\lambda _{2}\}\\&=\mu \{x\in X:|f(x)||g(x)|\geqslant \lambda _{1}\lambda _{2}\}\\&\leqslant \mu \{x\in X:|f(x)|>\lambda _{1}\}+\mu \{x\in X:|g(x)|>\lambda _{2}\}\\&=a_{f}(\lambda _{1})+a_{g}(\lambda _{2}).\end{aligned}}$$

   最后一个不等式是因为

   $$\{x\in X:|f(x)|>\lambda _{1}\}\cup \{x\in X:|g(x)|>\lambda _{2}\}\supset \{x\in X:|f(x)||g(x)|\geqslant \lambda _{1}\lambda _{2}\}.$$

   这是因为如果$\lambda _{1}\lambda _{2}=0$结论立即成立，下面假设$\lambda _{1}\lambda _{2}$非零，令上面三个集合依次为$S_{1},S_{2},S$，那么对几乎处处的$x\in S$成立可以推出下面任一命题成立

   $x\in S_{1}$

   $x\in S\setminus S_{1}$，这时我们有$|f(x)||g(x)|>\lambda _{1}\lambda _{2}$同时$|f(x)|\leqslant \lambda _{1}$，于是$|g(x)|=(|f(x)||g(x)|)/|f(x)|>\lambda _{2}$即$x\in S_{2}.$

   不管哪种情况我们都有几乎处处的$x\in S_{1}\cup S_{2}.$

6. 如果可测函数列$\{ f_n \}$满足
   1. $|f|\leqslant \liminf _{n\to \infty }|f_{n}|$几乎处处成立，那么$a_{f}\leqslant \liminf _{n\to \infty }a_{f_{n}}$处处成立。
   2. $|f|\geqslant \limsup _{n\to \infty }|f_{n}|$几乎处处成立，那么$a_{f}\geqslant \limsup _{n\to \infty }a_{f_{n}}$处处成立。
   （点击查看证明/解答）
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   如果可测函数列$\{ f_n \}$满足

   1. $|f|\leqslant \liminf _{n\to \infty }|f_{n}|$几乎处处成立，那么$a_{f}\leqslant \liminf _{n\to \infty }a_{f_{n}}$处处成立。
   2. $|f|\geqslant \limsup _{n\to \infty }|f_{n}|$几乎处处成立，那么$a_{f}\geqslant \limsup _{n\to \infty }a_{f_{n}}$处处成立。

   关于这个定理/命题的证明，单击这里以显示/折叠

   这两个命题证明类似，因此我们只证第一个。首先由于对几乎处处的$x \in X$成立

   $$|f(x)|\leqslant \liminf _{n\to \infty }|f_{n}(x)|=\lim _{m\to \infty }\inf _{n\geqslant m}|f_{n}(x)|=\sup _{m\geqslant 1}\inf _{n\geqslant m}|f_{n}(x)|.$$

   那么对任意的$\lambda > 0$我们有对几乎处处的$x \in X$成立

   $${\begin{aligned}\{x\in X:|f(x)|>\lambda \}&\subset \{x\in X:\sup _{m\geqslant 1}\inf _{n\geqslant m}|f_{n}(x)|>\lambda \}\\&=\bigcup _{m=1}^{\infty }\{x\in X:\inf _{n\geqslant m}|f_{n}(x)|>\lambda \}\\&=\bigcup _{m=1}^{\infty }\bigcap _{n=m}^{\infty }\{x\in X:|f_{n}(x)|>\lambda \}.\end{aligned}}$$

   （最后两个等式可参见上极限#函数列的性质）于是由测度的单调性得到

   $${\begin{aligned}\mu (\{x\in X:|f(x)|>\lambda \})&\leqslant \mu \left(\bigcup _{m=1}^{\infty }\bigcap _{n=m}^{\infty }\{x\in X:|f_{n}(x)|>\lambda \}\right)\\&\leqslant \liminf _{n\to \infty }\mu (\{x\in X:|f_{n}(x)|>\lambda \})\\&=\liminf _{n\to \infty }a_{f_{n}}(\lambda ).\end{aligned}}$$

   不等号处使用了 Fatou 引理。

7. 如果可测函数列$\{ f_n \}$满足：$|f_{n}|$几乎处处单调上升收敛到$|f |$，那么$a_{f_{n}}$单调上升处处收敛到$a_{f}.$（点击查看证明/解答）
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   如果可测函数列$\{ f_n \}$满足：$|f_{n}|$几乎处处单调上升收敛到$|f |$，那么$a_{f_{n}}$单调上升处处收敛到$a_{f}.$

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   对任意的$\lambda > 0$及几乎处处的$x \in X$我们有

   $$\{x\in X:|f_{n}(x)|>\lambda \}\subset \{x\in X:|f_{n+1}(x)|>\lambda \}$$

   以及

   $$\lim _{n\to \infty }\{x\in X:|f_{n}(x)|>\lambda \}=\{x\in X:|f(x)|>\lambda \}.$$

   由单调收敛定理即可得到结论。

弱型

参见弱型和弱 Lp 空间。

如果存在一个常数$C > 0$使得$f$的分布函数$a_f(\lambda)$满足如下不等式：

$$a_f(\lambda) \leqslant \dfrac{C}{\lambda}, \quad \forall \lambda > 0.$$

我们就说$f$是弱$L^1$型的。上述不等式中最小的常数$C$被称为弱$L^1$范数，记作$\| f \|_{1, \infty}$或$\| f \|_{1, w}.$相应的函数空间记作$L^{1,\infty}$或$L^{1, w}$

原函数

假设$(X, \mathcal{F}, \mu)$是测度空间，且$f\in L^{1}(X)$，那么对任意的$t > 0$都有

$$a_{f}(\lambda )=-{\dfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \lambda }}\int _{X}(|f|-\lambda )^{+}\mathrm {d} \mu ,\quad {\text{where }}(x)^{+}=\max\{x,0\}.$$

这里的导数是几乎处处导数。实际上，

$${\begin{aligned}&\quad ~{\dfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \lambda }}\int _{X}(|f|-\lambda )^{+}\mathrm {d} \mu \\&={\dfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \lambda }}\int _{\{x\in X:|f|>\lambda \}}(|f|-\lambda )\mathrm {d} \mu \\&={\dfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \lambda }}\int _{X}\chi _{\{x\in X:|f|>\lambda \}}|f|\mathrm {d} \mu -{\dfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \lambda }}\left(\lambda \int _{X}\chi _{\{x\in X:|f|>\lambda \}}\mathrm {d} \mu \right)\\&={\dfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \lambda }}\int _{X}\chi _{\{x\in X:|f|>\lambda \}}|f|\mathrm {d} \mu -\lambda {\dfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \lambda }}\int _{X}\chi _{\{x\in X:|f|>\lambda \}}\mathrm {d} \mu -\mu \{x\in X:|f|>\lambda \}\\&=\lim _{\Delta \lambda \to 0}{\dfrac {1}{\Delta \lambda }}\int _{X}\chi _{\{x\in X:\lambda <|f|\leqslant \lambda +\Delta \lambda \}}(|f|-\lambda )\mathrm {d} \mu -\mu \{x\in X:|f|>\lambda \}\\&=\lim _{\Delta \lambda \to 0}\int _{X}\chi _{\{x\in X:\lambda <|f|\leqslant \lambda +\Delta \lambda \}}\mathrm {d} \mu -a_{f}(\lambda )\\&=-a_{f}(\lambda ).\end{aligned}}$$

其中极限使用了单边形式，另外一边类似可得结论。

对比#定理1.2将那里的$\varphi(t)$取为$\max\{t,t_{0}\}$，这里的证明不必使用 Fubini 定理。

参考资料

1. 周民强, 《实变函数论（第三版）》, 北京大学出版社, 北京, 2016-10, ISBN 978-7-3012-7647-1.
2. Loukas Grafakos, Classical Fourier Analysis, Springer New York, 2014-11, ISBN 978-1-4939-1193-6.
3. Rene Erlin Castillo, Humberto Rafeiro, An Introductory Course in Lebesgue Spaces, CMS Books in Mathematics, Springer Cham, 2016-07-06, ISBN 978-3-3193-0032-0.