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矩阵代数中,矩阵的分块是将阶数较大不易计算的矩阵划分为若干个小矩阵而进行的操作,它在一定称得上可以简化计算,并通过分块,矩阵的某些性质更加明显。

概念[]

对于任意矩阵,我们按照某种需要和可能,通过在这个矩阵的行和列之间画出一系列的横竖线,将这个矩阵分为若干个小矩阵的组合,就称是将该矩阵分块,每个小矩阵叫做这个矩阵的一个子块,将子块按照原来的相对位置排列而形成的矩阵,称为分块矩阵(partitioned matrix),分块矩阵的元素,是每个子块。

实际上,普通的矩阵可以认为是一种特殊的分块矩阵,它的每个子块都是的。

定义[]

我们给分块矩阵一个严谨的数学定义。

预备知识

  • 自然数集的凸子集:设有界集合,如果,就称集合是自然数集的一个凸子集(convex subset)。
  • 有序划分:如果有序集可以分为若干子集的并集,且这些子集之间满足有序()与无交并,就称有序集的一个有序划分。
  • 子矩阵:设,设,选取列的交点位置并按照原矩阵中元素的相对位置不变而得到的阶矩阵,称为矩阵子矩阵。

分别是以及的一个有序划分,且都是凸子集。

是分别选取的第行第列的阶子矩阵,即

那么就称如下形式的矩阵(它的元素还是矩阵)为的一个分块矩阵。
记作

运算[]

和普通矩阵有相似的运算,诸如加法、减法、数乘,它们都是将对应的元素做相应的运算。特别要注意的是,做乘法时需保证的列的划分要和的行的划分相同。

  1. 加法数乘:设,则
  2. 分块乘法:设,则,其中

完全行(列)分块[]

,如果将的每一列视作一个整体(即元列向量),则可做如下分块,则这样的分块叫做完全列分块,它的优点是将矩阵作为向量处理,有时候会带来诸多方便,在之后的特征值与特征向量中我们会经常见到这种分块形式,这样分块出来的矩阵也可进行形式乘法计算,例如,又设,有

类似地,我们可以定义完全行分块。

分块矩阵求逆[]

我们可以向二阶矩阵那样将不便于求逆的矩阵分成阶的分块矩阵再求它的逆,例如,由,则一定与具有相同的行列分块,设,则有

列出方程求解即可,得到

此外,我们也可定义分块矩阵的分块初等矩阵以及其乘法意义,此处不拟赘述。

上下节[]

参考资料

  1. 郭聿琦, 岑嘉评, 王正攀, 《高等代数教程》, 科学出版社, 北京, 2014-07, ISBN 978-7-0304-0417-6.
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