分位數

隨機變量的概率分佈函數表徵了$X \leqslant x$時的概率，如果我們想知道某個給定概率的情形下分佈函數對應的$x$值，這就涉及到分位數問題，實際上分位數對應的問題是分佈函數的反函數問題。

概念

假設有一隨機變量$X$的分佈函數$F(x)$，對給定的$0 < p < 1$，稱滿足 $$F(x_p) \leqslant p \leqslant F(x_p^+)$$ 的$x_p$為該分佈的$p$分位數。當$X$是連續型隨機變量時，$x_p = F^{-1}(x).$這裏定義的分位數也被稱為下分位數。

同樣有上分位數的概念：假設有一隨機變量$X$的分佈函數$F(x)$，對給定的$0 < p < 1$，稱滿足 $$P \{ x > x_p \} \leqslant p \leqslant P \{ x \geqslant x_p \}$$ 的$x_p$為該分佈的$p$上分位數。

特別地，$p=1/2$時為中位數，$p=1/4,3/4$時為第一四分位數和第二四分位數。

在數理統計中，標準正態分佈$N(0, 1)$、t 分佈$t_n$、χ² 分佈$\chi_n^2$和 F 分佈$F_{m,n}$的$\alpha$上分位數（$\alpha \in (0, 1)$）分別記為$u_\alpha, t_n(\alpha), \chi^2_n(\alpha), F_{m,n}(\alpha).$

樣本分位數

數理統計中，樣本是取自總體的隨機變量，隨機試驗中的樣本數是有限的，因此我們定義分位數時總是要求分位數的值對應到某個具體的樣本上去，給定一次試驗，得到一些樣本的值$X_i,i=1,2,\cdots,n$，將其排序（即順序統計量）$X_{(1)} \leqslant X_{(2)} \leqslant \cdots, \leqslant X_{(n)}.$

一種簡單定義樣本$p$分位數的方式為：$X_{([(n+1)p])}, \quad p \in (0, 1)$，$[x]$表示取整函數。它反映了總體分位數的信息，此外還有更複雜的公式定義$p$分位數： $$m_p = X_{[np]} + (n+1) \left( p - \dfrac{[np]}{n+1} \right) (X_{([np]+1)} - X_{[np]})$$ 採用線性插值的方法定義，它可能不再對應某個具體樣本值，雖然這樣定義下來的性質更好但不易計算。

參考資料

1. 李賢平, 《概率論基礎（第3版）》, 高等教育出版社, 北京, 2010-04, ISBN 978-7-0402-8890-2.