分位数

随机变量的概率分布函数表征了$X \leqslant x$时的概率，如果我们想知道某个给定概率的情形下分布函数对应的$x$值，这就涉及到分位数问题，实际上分位数对应的问题是分布函数的反函数问题。

概念

假设有一随机变量$X$的分布函数$F(x)$，对给定的$0 < p < 1$，称满足 $$F(x_p) \leqslant p \leqslant F(x_p^+)$$ 的$x_p$为该分布的$p$分位数。当$X$是连续型随机变量时，$x_p = F^{-1}(x).$这里定义的分位数也被称为下分位数。

同样有上分位数的概念：假设有一随机变量$X$的分布函数$F(x)$，对给定的$0 < p < 1$，称满足 $$P \{ x > x_p \} \leqslant p \leqslant P \{ x \geqslant x_p \}$$ 的$x_p$为该分布的$p$上分位数。

特别地，$p=1/2$时为中位数，$p=1/4,3/4$时为第一四分位数和第二四分位数。

在数理统计中，标准正态分布$N(0, 1)$、t 分布$t_n$、χ² 分布$\chi_n^2$和 F 分布$F_{m,n}$的$\alpha$上分位数（$\alpha \in (0, 1)$）分别记为$u_\alpha, t_n(\alpha), \chi^2_n(\alpha), F_{m,n}(\alpha).$

样本分位数

数理统计中，样本是取自总体的随机变量，随机试验中的样本数是有限的，因此我们定义分位数时总是要求分位数的值对应到某个具体的样本上去，给定一次试验，得到一些样本的值$X_i,i=1,2,\cdots,n$，将其排序（即顺序统计量）$X_{(1)} \leqslant X_{(2)} \leqslant \cdots, \leqslant X_{(n)}.$

一种简单定义样本$p$分位数的方式为：$X_{([(n+1)p])}, \quad p \in (0, 1)$，$[x]$表示取整函数。它反映了总体分位数的信息，此外还有更复杂的公式定义$p$分位数： $$m_p = X_{[np]} + (n+1) \left( p - \dfrac{[np]}{n+1} \right) (X_{([np]+1)} - X_{[np]})$$ 采用线性插值的方法定义，它可能不再对应某个具体样本值，虽然这样定义下来的性质更好但不易计算。

参考资料

1. 李贤平, 《概率论基础（第3版）》, 高等教育出版社, 北京, 2010-04, ISBN 978-7-0402-8890-2.