函数项级数

在数学分析中，函数项级数是数项级数的推广。

函数项级数

设有函数列$\{ u_n(x) \}_{n=1}^\infty$，且所有函数的定义域的交集非空：$D = \bigcap_{n=1}^\infty D(u_n) \ne \varnothing$，我们就称如下的和为一个函数项级数，它的定义域是$D$。

$$\sum_{n=1}^\infty u_n(x) := u_1(x) + u_2(x) + \cdots.$$

并称 $\sum_{k=1}^n u_k(x) = u_1(x) + u_2(x) + \cdots + u_n(x)$ 是这个函数项级数的$n$次部分和。

容易知道，当选定一个固定的值$x = x_0$，函数项级数$\sum_{n=1}^\infty u_n (x)$就变成了一个数项级数$\sum_{n=1}^\infty u_n(x_0).$

收敛性

函数项级数也可以定义数项级数那样的收敛性，它的定义是：$\sum_{n=1}^\infty u_n (x)$收敛当且仅当对于任意的$x \in X$，数项级数$\sum_{n=1}^\infty u_n(x_0)$都收敛，这种收敛也被称为逐点收敛或点态收敛，对于一个函数项级数的逐点收敛问题，可以将它转化为对应数项级数的收敛问题。如果能得到在区间$X$上固定$x$的所有数项级数$\sum_{n=1}^\infty u_n(x_0)$收敛到$S(x)$，我们就称$S(x)$为函数项级数在$X$上的和函数，$X \subseteq D$称为这个函数项级数的收敛域，并有如下记号

$$\sum_{n=1}^\infty u_n(x) = \lim_{n \to \infty} S_n(x) = S(x), \quad \forall x \in X.$$

仿照数项级数收敛的定义，函数项级数$\sum_{n=1}^\infty u_n (x)$在$X$上收敛于$S(x)$还有以下叙述：
$\forall \varepsilon > 0, \forall x_0 \in X, \exists N(\varepsilon, x_0) \in \N^+$，当$n > N$时恒有$|S_n(x_0) - S(x_0)| < \varepsilon$，或写作$|R_n(x_0)| = \left|\sum_{k=n+1}^\infty u_k(x_0)\right| < \varepsilon$，其中$R_n(x)$称为函数项级数的$n$次余和。

与函数列的关系

函数项级数和函数列有着密切的关系，正如数列和数项级数那样，一个函数项级数可以认为是某个函数列的构成的数列的前$n$项和（这里我们就是这样定义函数项级数的），而函数列$\{ f_n (x) \}_{n=1}^\infty$可以认为是函数项级数$\sum_{n=1}^\infty f_n(x) - f_{n-1}(x) , f_0(x) = 0$的$n$次部分和，因此函数列以及函数项级数可以平行研究，或只关注其一，另一个只需稍加推广即可。

一致收敛

仅凭收敛这一个条件，就算函数项级数中每个函数都是连续的，也不能推出和函数的连续性，这时需要引入一致收敛的概念。

设函数项级数$\sum_{n=1}^\infty u_n (x)$，若对任意的$\varepsilon > 0$以及$x \in X$，存在仅和$\varepsilon$有关的常数$N(\varepsilon) \in \N^+$，使得当$n > N$时恒有 $|S_n(x) - S(x)| < \varepsilon$ 成立，我们就说函数项级数$\sum_{n=1}^\infty u_n (x)$在$X$上一致收敛于$S(x)$，此外，这个定义还有如下等价表述：

$$\lim_{n \to \infty} \sup_{x \in X} |S_n(x) - S(x)| = 0$$

上式是说，先固定$n$，求有关$x$的函数$|S_n (x) - S(x)|$在$X$上的上界，然后得到一个数列，如果这个数列是一个无穷小数列，就说原函数列一致收敛。

一致收敛中的“一致”，从定义中来看是说常数$N$的选择不依赖于$x$，所有的$x$表现的行为有“一致性”，这样可以在区间上利用$N$对函数项级数做整体把握，因此一致收敛是一个整体性质，而收敛性质是局部性质。

上下节

• 上一节：函数列
• 下一节：一致收敛

  参考资料

  1. 欧阳光中, 朱学炎, 金福临, 陈传璋, 《数学分析》, 高等教育出版社, 北京, 2018-08, ISBN 978-7-0404-9718-2.