函数的磨光

函数的磨光化（mollification of functions）是将一个性质不太好的函数用光滑函数磨光逼近的手段。

磨光子

定义$\R^n$上的光滑函数 $$\eta(x) = \begin{cases} C \exp \dfrac{1}{|x|^2-1}, & |x| < 1, \\ 0, & |x| \geqslant 1 \end{cases}$$ 为$\R^n$上的标准磨光子（standard mollifier），其中常数$C$适当选取使得 $$\int_{\R^n} \eta(x) \mathrm{d}x = 1.$$

假设$\varepsilon > 0$，定义 $$\eta_\varepsilon (x) = \dfrac{1}{\varepsilon^n} \eta \! \left( \dfrac{x}{\varepsilon} \right).$$ 容易验证有$\int_{\R^n} \eta_\varepsilon (x) \mathrm{d}x = 1.$且他的紧支集$\{ x \in \R^n: f(x) \ne 0 \}$在$B(0, \varepsilon)$中。

函数磨光

记号同上，假设$U \subset \R^n$是有界开集，多元函数$f(x): \R^n \to \R$在$U$之外恒为零，定义如下卷积 $$f^\varepsilon (x) := f \ast \eta_\varepsilon = \int_{B(0, \varepsilon)} f(x-y) \eta_\varepsilon (y) \mathrm{d}y, \quad x \in U_\varepsilon := \{ x \in U: d(x, \partial U) > \varepsilon \}.$$ 也可以写作 $$f^\varepsilon (x) = \int_U f(y) \eta_\varepsilon (x-y) \mathrm{d}y, \quad x \in U.$$ 这样操作后的函数$f^\varepsilon (x)$有性质

1. 如果$f$在$\R^n$上局部可积，那么$f^\varepsilon (x)$是$\R^n$上的光滑函数。
2. 如果$f$在$U$上局部可积，且紧支集位于$U$内，那么$f^\varepsilon (x)$是$U_\varepsilon$的光滑函数；
3. 如果$f$在$U$上是 $L^p$可积的，$1 \leqslant p < +\infty$，那么$f^\varepsilon$在$U$上也是$L^p$可积的，且$$\| f^\varepsilon \|_{L^p(U)} \leqslant \| u \|_{L^p(U)}, \quad \lim_{\varepsilon \to 0^+} \| f^\varepsilon - f \|_{L^p(U)} = 0.$$进而由 Riesz 定理可得$$f^\varepsilon (x) \to f(x), \text{a.e. } x \in U, \text{as } \varepsilon \to 0^+.$$
4. 假设$f(x)$在$U$上连续，那么上述收敛在$U$的一个紧致子集上一致。
5. 假设$f(x)$在$U$上一致连续，那么上述收敛在$U$上一致。