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极限(limit)是研究变量变化规律的重要工具。通俗来说,极限就是一个变量变化过程中的趋向值,变量的变化过程就是极限过程。在研究函数的极限时,我们通过研究数列的极限引入。

下面我们所讨论的函数均限定为一元实值函数,关于其它类的函数极限参见

  1. 多元函数的连续性
  2. 复变函数的连续性

等等。

函数的极限过程[]

数列的极限过程只有 一种,但是函数的极限过程却不只一种。首先,从数列极限过程中得到启发, 可以作为一种极限过程,但与数列不同,函数变量可正可负,因此 又是另外两种。以上三种称为 在无穷处的极限。

另外,数列中 是(正)整数,是不连续的,但函数的变量一般可以取实数,在某个邻域定义域区间中变量的值可以遍取,这也就意味着我们可以定义函数在某个点处的极限,直观上来说就是当变量 无限从 两端趋近于 时函数值的一个趋向值,这时我们就可定义这一点处的函数极限。同样,上面我们从 两端趋近,当然我们也可以从 一端趋近,这样我们就可以定义两种单侧极限 两端趋近。于是,我们就又定义出了函数极限的另外三种极限过程。

下面,我们引入函数极限的六种精确定义。

极限定义[]

  1. 函数在 处的极限:定义在 上的函数 ,如果存在 ,使得对于任意的 ,存在正数 ,当 时都有 ,那么就称函数 时以 为极限,记作
  2. 函数在 处的极限:定义在 上的函数 ,如果存在 ,使得对于任意的 ,存在正数 ,当 时都有 ,那么就称函数 时以 为极限,记作
  3. 函数在 处的极限:定义在 上的函数 ,如果存在 ,使得对于任意的 ,存在正数 ,当 时都有 ,那么就称函数 时以 为极限,记作

    到此,我们可以知道

  4. 函数在 处的极限:定义在 上的函数 ,如果存在 ,使得对于任意的 ,存在正数 ,当 时都有 ,那么就称函数 时以 为极限,记作
  5. 函数在 右侧的极限:定义在 上的函数 ,如果存在 ,使得对于任意的 ,存在正数 ,当 时都有 ,那么就称函数 时以 为极限,记作
  6. 函数在 左侧的极限:定义在 上的函数 ,如果存在 ,使得对于任意的 ,存在正数 ,当 时都有 ,那么就称函数 时以 为极限,记作

    到此,我们可以知道

我们也把极限过程 也称作单侧极限。

Heine 定理[]

Heine 定理也被称为归结原则,它指出了数列极限函数极限之间的关系,即从函数值的变化趋势来解决函数极限的存在问题。这个定理对函数的六种极限过程都是成立的,这里仅叙述 的情况:

这个定理的逆否形式可以很方便地用来判断一个函数的极限是否存在,也就是说,如果可以找到一个以 为极限的数列 使得 不存在,或者找到两个都以 为极限的数列 使得 存在但不相等,那么可以断言 不存在。

函数极限的性质[]

和数列极限一样,函数的极限也具有下列性质,为了叙述方便,我们都以极限 为例。

  • 唯一性
若极限 存在,则它是唯一的。
  • 局部有界性
存在,,则 ,当
若极限 在空心邻域 内有 ,则
  • 局部保序性
,且 ,当
,且 ,当 ,则
,则对任何正数 存在 ,使得对一切 ,也称局部保号性。

单调有界定理[]

数列的单调有界定理是有上界的递增数列必有极限,且极限就是数列上确界;有下界的递减数列必有极限,且极限就是数列下确界。同样,通过 Heine 定理 我们可以证明函数的单调有界定理。只是,只有四类单侧极限形式才具有这个性质。

  1. 的情况:定义在 上的单调有界函数 存在右极限
  2. 的情况:定义在 上的单调有界函数 存在左极限
  3. 的情况:定义在 上的单调有界函数 存在极限
  4. 的情况:定义在 上的单调有界函数 存在极限

Cauchy 收敛准则[]

Cauchy 收敛准则:数列收敛必要性证明:
,当时,有


这就证明了是一个 Cauchy 列。
通过 Heine 定理 我们可以证明函数的 Cauchy 收敛准则。定义在 上的函数 存在左极限 当且仅当 ,使得 都有

函数极限运算法则[]

四则运算

和数列运算相仿,对于 ,函数极限也有以下四则运算法则:
  1. 若对于任意,则

幂运算

(要求 )。

复合函数运算

定义在邻域 上的函数 如果满足 不恒为 ,且存在定义在邻域 上的函数 满足 ,那么有

取最值函数的极限运算

如果 存在,则有

基本初等函数的极限[]

对于基本初等函数 是定义域的内点,则

由于初等函数是经过基本初等函数有限次四则及复合运算得到的,而四则及复合运算有极限的运算总性质,所以对于初等函数 是定义域的内点,则

两个重要的极限[]

  1. 第一重要极限
  2. 第二重要极限

参考资料

  1. 欧阳光中, 朱学炎, 金福临, 陈传璋, 《数学分析》, 高等教育出版社, 北京, 2018-08, ISBN 978-7-0404-9718-2.
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