函數極值

在一元實函數分析中，函數的極值是研究的重點之一，它是函數的一個局部性質，極值是某些函數值，分為極大值和極小值。極值點就是函數取得極值時自變量的值。

極值的定義

設函數$f(x)$在鄰域$U(x_0; \delta)$內有定義，如果$\exists \delta > 0, \forall x \in U(x_0; \delta)$都有$f(x) \geqslant f(x_0)$（$f(x) \leqslant f(x_0)$），則稱$f(x_0)$是$f(x)$ 的極小（大）值，同時稱$x_0$是$f(x)$的極小（大）值點。

極值是局部性概念，同一個函數的極小值可能大於極大值。

極值點與最值點的關係

1. 極值點未必是最值點，最值點也未必從極值點中取。
2. 開區間上函數的最值點如果存在的話，則應從極值點中取，且最大值點是最大極值對應的極值點，極小值點同理。
3. 閉區間上函數的最值點從極值點和區間端點中取。

Fermat 定理

Fermat 定理（常譯費馬定理），是一個函數極值和導數關係的定理，它是說：如果點 $x_0$ 是函數 $f(x)$ 的極值點，並且 $f(x)$ 在點 $x_0$ 處可導，則 $$f'(x_0) = 0.$$ 這一定理是連續可導函數存在極值的必要條件，同時，我們稱是的導數為零的點為駐點，極值點是駐點的一種，駐點中不是極值點的點稱為拐點。

這一條件不是充分的，例如$f(x)=x^3$在$x = 0$處導數為零，但它是拐點；另外，對於在某一點不可導的函數，在這些不可導點也有可能存在極值，例如$f(x) = |x|$在$x = 0$出為極小值點。

下面的命題是 Fermat 定理的推廣，當$n=1$時就是 Fermat 定理：
設$f(x)$在$x_0$點具有$n$階連續導數，並且$f'(x_0) = f''(x_0) = \cdots = f^{(n-1)} (x_0) = 0$，$f(^{(n)} (x_0) \ne 0$，則當$n$為奇數時，$f(x_0)$非極值；當$n$為偶數而$f^{(n)} (x_0) > 0$時，$f(x_0)$為極小值；當 $n$為偶數而$f^{(n)} (x_0) < 0$時，$f(x_0)$為極大值。

其證明是使用 Taylor 公式，詳見 Practice:數學分析/T210111013。

充分條件

以下列出極值的一些充分條件，它們連同 Fermat 定理組成極值存在的充要條件。

1. 如果連續函數$f(x)$在$U^\circ (x_0; \delta)$上一階可導，那麼：
   若$f'(x) < 0, \forall x \in U^\circ_{-} (x_0; \delta)$且$f'(x) > 0, \forall x \in U^\circ_{+} (x_0; \delta)$則點$x_0$為極小值點；
   若$f'(x) > 0, \forall x \in U^\circ_{-} (x_0; \delta)$且$f'(x) < 0, \forall x \in U^\circ_{+} (x_0; \delta)$則點$x_0$為極大值點；
   其它情況為拐點；
2. 如果連續函數$f(x)$在$U(x_0; \delta)$上二階可導，那麼若$f''(x_0) < 0$則點$x_0$為極小值點，若$f''(x_0) > 0$則點$x_0$為極大值點，若$f''(x_0) = 0$則需進一步判定。

如果對函數$f(x)$不加限制，那麼它的極值的充要條件是尚未找到的。

多元函數

多元函數的極值詳見這裏。

參考資料

1. 歐陽光中, 朱學炎, 金福臨, 陳傳璋, 《數學分析》, 高等教育出版社, 北京, 2018-08, ISBN 978-7-0404-9718-2.