函数极值

在一元实函数分析中，函数的极值是研究的重点之一，它是函数的一个局部性质，极值是某些函数值，分为极大值和极小值。极值点就是函数取得极值时自变量的值。

极值的定义

设函数$f(x)$在邻域$U(x_0; \delta)$内有定义，如果$\exists \delta > 0, \forall x \in U(x_0; \delta)$都有$f(x) \geqslant f(x_0)$（$f(x) \leqslant f(x_0)$），则称$f(x_0)$是$f(x)$ 的极小（大）值，同时称$x_0$是$f(x)$的极小（大）值点。

极值是局部性概念，同一个函数的极小值可能大于极大值。

极值点与最值点的关系

1. 极值点未必是最值点，最值点也未必从极值点中取。
2. 开区间上函数的最值点如果存在的话，则应从极值点中取，且最大值点是最大极值对应的极值点，极小值点同理。
3. 闭区间上函数的最值点从极值点和区间端点中取。

Fermat 定理

Fermat 定理（常译费马定理），是一个函数极值和导数关系的定理，它是说：如果点 $x_0$ 是函数 $f(x)$ 的极值点，并且 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导，则

$$f'(x_0) = 0.$$

这一定理是连续可导函数存在极值的必要条件，同时，我们称是的导数为零的点为驻点，极值点是驻点的一种，驻点中不是极值点的点称为拐点。

这一条件不是充分的，例如$f(x)=x^3$在$x = 0$处导数为零，但它是拐点；另外，对于在某一点不可导的函数，在这些不可导点也有可能存在极值，例如$f(x) = |x|$在$x = 0$出为极小值点。

下面的命题是 Fermat 定理的推广，当$n=1$时就是 Fermat 定理：
设$f(x)$在$x_0$点具有$n$阶连续导数，并且$f'(x_0) = f''(x_0) = \cdots = f^{(n-1)} (x_0) = 0$，$f(^{(n)} (x_0) \ne 0$，则当$n$为奇数时，$f(x_0)$非极值；当$n$为偶数而$f^{(n)} (x_0) > 0$时，$f(x_0)$为极小值；当 $n$为偶数而$f^{(n)} (x_0) < 0$时，$f(x_0)$为极大值。

其证明是使用 Taylor 公式，详见 Practice:数学分析/T210111013。

充分条件

以下列出极值的一些充分条件，它们连同 Fermat 定理组成极值存在的充要条件。

1. 如果连续函数$f(x)$在$U^\circ (x_0; \delta)$上一阶可导，那么：
   若$f'(x) < 0, \forall x \in U^\circ_{-} (x_0; \delta)$且$f'(x) > 0, \forall x \in U^\circ_{+} (x_0; \delta)$则点$x_0$为极小值点；
   若$f'(x) > 0, \forall x \in U^\circ_{-} (x_0; \delta)$且$f'(x) < 0, \forall x \in U^\circ_{+} (x_0; \delta)$则点$x_0$为极大值点；
   其它情况为拐点；
2. 如果连续函数$f(x)$在$U(x_0; \delta)$上二阶可导，那么若$f''(x_0) < 0$则点$x_0$为极小值点，若$f''(x_0) > 0$则点$x_0$为极大值点，若$f''(x_0) = 0$则需进一步判定。

如果对函数$f(x)$不加限制，那么它的极值的充要条件是尚未找到的。

多元函数

多元函数的极值详见这里。

参考资料

1. 欧阳光中, 朱学炎, 金福临, 陈传璋, 《数学分析》, 高等教育出版社, 北京, 2018-08, ISBN 978-7-0404-9718-2.