函数同调

分析中的函数同调是两个实函数间满足某种不等式的关系。这里以一元实函数为主叙述其性质。

定义

设定义在区间$I$上的函数$f(x), g(x)$，如果成立如下不等式

$$[f(x) - f(y)] [g(x) - g(y)] \geqslant 0, \quad \forall x, y \in I,$$

我们就称这两个函数在$I$上同调；如果成立

$$[f(x) - f(y)] [g(x) - g(y)] \leqslant 0, \quad \forall x, y \in I,$$

我们就称这两个函数在$I$上反调。

性质

以下均在某一区间$I$上考察结论。

1. 设有实常数$k$，若$k \geqslant 0$，函数$f(x)$和$kf(x)$同调；若$k \leqslant 0$，函数$f(x)$和$kf(x)$反调；
2. 设实常数$\mu>0$，那么函数$|f(x)|$和函数$|f(x)|^\mu$同调；
3. 复合函数的同调性：设$g(x)$是定义在$f(I)$上的单调函数，当$g(x)$单调递增时，$f(x)$和$g(f(x))$同调，当$g(x)$单调递减时$f(x)$和$g(f(x))$反调。

不等式

关于同调函数的著名不等式是 Chebyshev 同调不等式，它的一般形式：

设$f(x), g(x)$在$[a, b]$上可积同调，函数$h(x)$在$[a, b]$上可积非负，则

$$\left( \int_a^b f(x) h(x) \mathrm{d}x \right) \left( \int_a^b g(x) h(x) \mathrm{d}x \right) \leqslant \left( \int_a^b h(x) \mathrm{d}x \right) \left( \int_a^b f(x) g(x) h(x) \mathrm{d}x \right).$$

若$f(x), g(x)$在$[a, b]$上反调，则不等号反向。

假设同上，$f(x), g(x)$在$[a, b]$上同调，以下情形是它的一些特例：

1. 取$h(x) = 1$，则有
   $$\left( \int_a^b f(x) \mathrm{d}x \right) \left( \int_a^b g(x) \mathrm{d}x \right) \leqslant \left( b-a \right) \left( \int_a^b f(x) g(x) \mathrm{d}x \right).$$
2. 取$h(x) = x$，则有
   $$\int_a^b x f(x) \mathrm{d}x \leqslant \dfrac{a+b}{2} \left( \int_a^b f(x) \mathrm{d}x \right).$$
3. 取$h(x) = 1, \forall p > 0, q > 0$，则有
   $$\left( \int_a^b |f(x)|^p \mathrm{d}x \right) \left( \int_a^b |f(x)|^q \mathrm{d}x \right) \leqslant \left( b-a \right) \left( \int_a^b |f(x)|^{p+q} \mathrm{d}x \right).$$

参考资料

1. 崔尚斌, 《数学分析教程（下）》, 科学出版社, 北京, 2013-03, ISBN 978-7-0303-6807-2.