函數單調性

函數的單調性是刻畫一個（一元實函數）重要性質的概念，它可以推廣到任意全序集或有序集的映射上去。

定義

設定義在區間$I$上的函數$f(x)$，如果對任意的$x_1, x_2 \in D$，$x_1 \leqslant x_2$，都有$f(x_1) \leqslant f(x_2)$，就稱$f(x)$在$I$上單調遞增；如果對任意的$x_1, x_2 \in D$，$x_1 < x_2$，都有$f(x_1) < f(x_2)$，就稱$f(x)$在$I$上嚴格單調遞增。

設定義在區間$I$上的函數$f(x)$，如果對任意的$x_1, x_2 \in D$，$x_1 \leqslant x_2$，都有$f(x_1) \geqslant f(x_2)$，就稱$f(x)$在$I$上單調遞減；如果對任意的$x_1, x_2 \in D$，$x_1 < x_2$，都有$f(x_1) > f(x_2)$，就稱$f(x)$在$I$上嚴格單調遞減。

設定義在區間$I$上的函數$f(x)$，如果對任意的開區間$(a, b) \subset I$，$f(x)$在$(a,b)$上都不是單調的，就說$f(x)$在$I$上無處單調。

性質

1. 常值函數是單調的，但不是嚴格單調的。
2. 若$f(x)$在$I$上單調遞增，那麼$-f(x)$在$I$上單調遞減。
3. 單調函數不一定連續，例如符號函數和取整函數，它們都是單調遞增的。但是，如果定義在區間$[a, b]$上的單調遞增函數$f(x)$的值域也是一個區間，且為$[f(a), f(b)]$，那麼$f(x)$就是連續函數了。
4. 連續函數不一定單調，但是它的上控函數是單調的連續函數。在點$x_0$連續的函數的右上控函數是單調遞增的，右下控函數是單調遞減的。
5. 一個區間上有定義的單調函數的不連續點是可列個跳躍間斷點。
6. 單調性和有界性沒有直接關係，但是閉區間上的單調函數是有界的，且它的上下界就是對應端點處的函數值。
7. 單調有界定理：無窮區間上的單調函數，如果它是有界的，那麼它的無窮極限存在，反之不真。
8. 若函數$f(x), g(x)$是定義在區間$I$上的增函數，且$f(x) \leqslant g(x)$，那麼$f(f(x)) \leqslant g(g(x)).$
9. 有限開區間$(a,b)$上有定義的連續函數沒有極值的充分必要條件是函數$f(x)$在$(a,b)$上嚴格單調。
10. 一個區間上嚴格單調的函數有反函數，且和原來的函數具有相同的單調性。
11. 兩個單調遞增函數的差值是有界變差函數。

導數判斷單調性

設$f(x)$在$I$上一階可導，那麼$f(x)$在$I$上單調遞增的充要條件是$\forall x \in I, f'(x) \geqslant 0$；$f(x)$在$I$上嚴格單調遞增的充要條件是$f'(x)$在$I$上非負且在任何子區間上都不恆為零。

對於單調遞減的情形，僅需將上述關於導函數和零的關係改變符號即可。

相關問題

1. 兩個區間之間的無處單調的可逆函數是存在的，如定義在區間$[0,1]$上的函數$f(x) = \begin{cases} x, & x \in \Q, \\ 1-x, & x \in I - \Q. \end{cases}$
2. 兩個嚴格遞增的函數，它們的和依然是嚴格遞增的，它們的積卻不一定是單調的。
3. 無處單調的連續函數是存在的，無處單調的可微函數也是存在的。
4. 由函數在一個點的導數與零的關係並不能確定該點的某個鄰域內函數的單調性，如函數$f(x) = \begin{cases} x + 2x^2 \sin \dfrac{1}{x}, & x \ne 0, \\ 0, & x = 0. \end{cases}$
5. 函數在極值點的單側的某鄰域中也可能不具有單調性，如函數$f(x) = \begin{cases} 2x^2 + x^2 \sin \dfrac{1}{x}, & x \ne 0, \\ 0, & x = 0. \end{cases}$