函数单调性

函数的单调性是刻画一个（一元实函数）重要性质的概念，它可以推广到任意全序集或有序集的映射上去。

定义

设定义在区间$I$上的函数$f(x)$，如果对任意的$x_1, x_2 \in D$，$x_1 \leqslant x_2$，都有$f(x_1) \leqslant f(x_2)$，就称$f(x)$在$I$上单调递增；如果对任意的$x_1, x_2 \in D$，$x_1 < x_2$，都有$f(x_1) < f(x_2)$，就称$f(x)$在$I$上严格单调递增。

设定义在区间$I$上的函数$f(x)$，如果对任意的$x_1, x_2 \in D$，$x_1 \leqslant x_2$，都有$f(x_1) \geqslant f(x_2)$，就称$f(x)$在$I$上单调递减；如果对任意的$x_1, x_2 \in D$，$x_1 < x_2$，都有$f(x_1) > f(x_2)$，就称$f(x)$在$I$上严格单调递减。

设定义在区间$I$上的函数$f(x)$，如果对任意的开区间$(a, b) \subset I$，$f(x)$在$(a,b)$上都不是单调的，就说$f(x)$在$I$上无处单调。

性质

1. 常值函数是单调的，但不是严格单调的。
2. 若$f(x)$在$I$上单调递增，那么$-f(x)$在$I$上单调递减。
3. 单调函数不一定连续，例如符号函数和取整函数，它们都是单调递增的。但是，如果定义在区间$[a, b]$上的单调递增函数$f(x)$的值域也是一个区间，且为$[f(a), f(b)]$，那么$f(x)$就是连续函数了。
4. 连续函数不一定单调，但是它的上控函数是单调的连续函数。在点$x_0$连续的函数的右上控函数是单调递增的，右下控函数是单调递减的。
5. 一个区间上有定义的单调函数的不连续点是可列个跳跃间断点。
6. 单调性和有界性没有直接关系，但是闭区间上的单调函数是有界的，且它的上下界就是对应端点处的函数值。
7. 单调有界定理：无穷区间上的单调函数，如果它是有界的，那么它的无穷极限存在，反之不真。
8. 若函数$f(x), g(x)$是定义在区间$I$上的增函数，且$f(x) \leqslant g(x)$，那么$f(f(x)) \leqslant g(g(x)).$
9. 有限开区间$(a,b)$上有定义的连续函数没有极值的充分必要条件是函数$f(x)$在$(a,b)$上严格单调。
10. 一个区间上严格单调的函数有反函数，且和原来的函数具有相同的单调性。
11. 两个单调递增函数的差值是有界变差函数。

导数判断单调性

设$f(x)$在$I$上一阶可导，那么$f(x)$在$I$上单调递增的充要条件是$\forall x \in I, f'(x) \geqslant 0$；$f(x)$在$I$上严格单调递增的充要条件是$f'(x)$在$I$上非负且在任何子区间上都不恒为零。

对于单调递减的情形，仅需将上述关于导函数和零的关系改变符号即可。

相关问题

1. 两个区间之间的无处单调的可逆函数是存在的，如定义在区间$[0,1]$上的函数$f(x) = \begin{cases} x, & x \in \Q, \\ 1-x, & x \in I - \Q. \end{cases}$
2. 两个严格递增的函数，它们的和依然是严格递增的，它们的积却不一定是单调的。
3. 无处单调的连续函数是存在的，无处单调的可微函数也是存在的。
4. 由函数在一个点的导数与零的关系并不能确定该点的某个邻域内函数的单调性，如函数$f(x) = \begin{cases} x + 2x^2 \sin \dfrac{1}{x}, & x \ne 0, \\ 0, & x = 0. \end{cases}$
5. 函数在极值点的单侧的某邻域中也可能不具有单调性，如函数$f(x) = \begin{cases} 2x^2 + x^2 \sin \dfrac{1}{x}, & x \ne 0, \\ 0, & x = 0. \end{cases}$