函数的凸性(convexity)是除了函数单调性之外的又一个重要性质,这里我们以一元实函数为例研究。注意在不同的教材中定义凸函数可能完全相反。
一元情形[]
定义[]
设定义在区间
上的函数(不必连续)对任意的
和
,都成立关系式

我们就说函数

是区间

上的凸函数(或上凸函数,convex function),

是

的凸区间,如果将上述等式中的大于等于改为小于等于,我们就说该函数是一个凹函数(或下凸函数),

是

的凹区间。如果上述等式取不到,我们就说该函数是严格凸(凹)的。以下性质我们主要针对上凸函数叙述。
通俗来理解,凸函数是区间
上函数图像之上的区域为凸集的函数:在该图像上方的区域中,任取两点,它们的连线全在该区域中;凹函数是区间
上函数图像之下的区域为凸集的函数。
等价刻画[]
这里我们给出凸函数的几个等价刻画,它们比定义更常用,尤其是可导函数和二阶可导函数的等价刻画。
一般性前提[]
设
是区间
上的函数(不必连续),以下四款等价:
是凸函数;
可以通过画三角形研究割线斜率的方式通俗理解;
(三角形的定向面积之倍)

- 对任意的
使得
当
可导的时候,
的最佳常数是
上述刻画中我们没有考虑端点,实际上,闭区间
上的凸函数,除了在开区间
上满足上述某条之外,只需在端点处满足下面的等式即可:

它和上述等价刻画中第二条是兼容的。
连续性前提[]
设
在
上连续,那么以下两款等价:
是凸函数;
- 任意子区间中点函数值小于等于积分平均值:

可导性前提[]
设
在
上可导,那么以下三款等价:
是凸函数;
- 导数
在
上单调递增。这是利用一阶导数判断函数凸性的方法;
- 函数
的图像总是位于每一点的切线的上方,即
二阶可导性前提[]
设
在
上二阶可导,
是(严格)凸函数当且仅当导数
在
上恒正(恒非负)。这是利用二阶导数判断函数凸性的方法。
性质[]
自身性质:
- 凸函数不必连续,实际上,闭区间
上的凸函数至多可以有两个不连续点(若有,则在端点处),整个函数在开区间
上是连续的;
- 凸函数不必可导,即使是限制在开区间上的凸函数也一样,考察
,进而凸函数不必二阶可导;
- 凸函数最多有一个极值点,或者没有,极值点可以取在开区间内,实际上,凸函数只可能在它的定义区间中要么单调递增,要么先单调递减再单调递增;
- 凸函数
的相反数
是凹函数,由定义显然可知;
- 有限开区间上的有界凸函数必定在端点处存在单侧极限;
- 闭区间上的连续凸函数
,如果导数在端点处存在单侧极限,那么
是 Lipschitz 连续的。
凸函数对运算的兼容性:
- 两个凸函数的和仍是凸函数,差不一定;
- 两个非负的单调递增凸函数的积一定是凸函数;
- 两个凸函数在开区间上的取最大值函数也是凸函数;
- 复合函数的凸性:设
是
,
,且
是
上的单调递增凸函数,那么
是
上的凸函数。
多元情形及推广[]
一般的凸函数可以在任意赋范线性空间中的凸集上定义,
假设有赋范线性空间
及其中的一个凸集
,实泛函
被称为是凸函数,是指它满足如下的凸不等式:

称其为严格凸的是指上述不等式对

严格成立。如果泛函

是
连续可微的,如果满足:

那么它是凸泛函汉,入宫上述不等式对任意

严格成立,那么它是严格凸泛函。
特别地,
上的多元凸函数
也有性质:

如果

在凸集

上二阶可微,那么

是凸函数当且仅当

,

是
Hesse 矩阵。
如果
是凸集
上的凸函数,那么对任意实数
,集合
是凸集,反过来也是对的。
和凸函数相关最密切的一个不等式,也是使用频率最高的,它可以证明某些典型的不等式。
设函数
是凸集
上的凸函数,对任意
和任意满足
的
都有

其中,

也称作是

的权。上述不等关系是说:加权平均的凸像小于等于凸像的加权平均。
一致凸性[]
一个二阶可微的一元实函数
在区间
上称为是一致凸的(uniformly convex),是指存在
,对任意
都有
一个
元函数
在凸集
上称为是一致凸的,是指存在
,
,即

参考资料