中文数学 Wiki
Advertisement

函数的凸性(convexity)是除了函数单调性之外的又一个重要性质,这里我们以一元实函数为例研究。注意在不同的教材中定义凸函数可能完全相反。

一元情形[]

定义[]

设定义在区间上的函数(不必连续)对任意的,都成立关系式

我们就说函数是区间上的凸函数(或上凸函数,convex function),的凸区间,如果将上述等式中的大于等于改为小于等于,我们就说该函数是一个凹函数(或下凸函数),的凹区间。如果上述等式取不到,我们就说该函数是严格凸(凹)的。以下性质我们主要针对上凸函数叙述。

通俗来理解,凸函数是区间上函数图像之上的区域为凸集的函数:在该图像上方的区域中,任取两点,它们的连线全在该区域中;凹函数是区间上函数图像之下的区域为凸集的函数。

等价刻画[]

这里我们给出凸函数的几个等价刻画,它们比定义更常用,尤其是可导函数和二阶可导函数的等价刻画。

一般性前提[]

是区间上的函数(不必连续),以下四款等价:

  1. 是凸函数;
  2. 可以通过画三角形研究割线斜率的方式通俗理解;
  3. 三角形的定向面积之倍)
  4. 对任意的使得可导的时候,的最佳常数是

上述刻画中我们没有考虑端点,实际上,闭区间上的凸函数,除了在开区间上满足上述某条之外,只需在端点处满足下面的等式即可:

它和上述等价刻画中第二条是兼容的。

连续性前提[]

上连续,那么以下两款等价:

  1. 是凸函数;
  2. 任意子区间中点函数值小于等于积分平均值

可导性前提[]

上可导,那么以下三款等价:

  1. 是凸函数;
  2. 导数上单调递增。这是利用一阶导数判断函数凸性的方法;
  3. 函数的图像总是位于每一点的切线的上方,即

二阶可导性前提[]

上二阶可导,是(严格)凸函数当且仅当导数上恒正(恒非负)。这是利用二阶导数判断函数凸性的方法。

性质[]

自身性质:

  • 凸函数不必连续,实际上,闭区间上的凸函数至多可以有两个不连续点(若有,则在端点处),整个函数在开区间上是连续的;
  • 凸函数不必可导,即使是限制在开区间上的凸函数也一样,考察,进而凸函数不必二阶可导;
  • 凸函数最多有一个极值点,或者没有,极值点可以取在开区间内,实际上,凸函数只可能在它的定义区间中要么单调递增,要么先单调递减再单调递增;
  • 凸函数的相反数是凹函数,由定义显然可知;
  • 有限开区间上的有界凸函数必定在端点处存在单侧极限;
  • 闭区间上的连续凸函数,如果导数在端点处存在单侧极限,那么Lipschitz 连续的。

凸函数对运算的兼容性:

  • 两个凸函数的和仍是凸函数,差不一定;
  • 两个非负的单调递增凸函数的积一定是凸函数;
  • 两个凸函数在开区间上的取最大值函数也是凸函数;
  • 复合函数的凸性:设,且上的单调递增凸函数,那么上的凸函数。

多元情形及推广[]

一般的凸函数可以在任意赋范线性空间中的凸集上定义,

假设有赋范线性空间及其中的一个凸集,实泛函被称为是凸函数,是指它满足如下的凸不等式:

称其为严格凸的是指上述不等式对严格成立。如果泛函连续可微的,如果满足:
那么它是凸泛函汉,入宫上述不等式对任意严格成立,那么它是严格凸泛函。

特别地,上的多元凸函数也有性质:

如果在凸集上二阶可微,那么是凸函数当且仅当Hesse 矩阵

如果是凸集上的凸函数,那么对任意实数,集合是凸集,反过来也是对的。

Jensen 不等式[]

和凸函数相关最密切的一个不等式,也是使用频率最高的,它可以证明某些典型的不等式。

设函数是凸集上的凸函数,对任意和任意满足都有

其中,也称作是的权。上述不等关系是说:加权平均的凸像小于等于凸像的加权平均。

一致凸性[]

一个二阶可微的一元实函数在区间上称为是一致凸的(uniformly convex),是指存在,对任意都有

一个元函数凸集上称为是一致凸的,是指存在,即

参考资料

  1. 欧阳光中, 朱学炎, 金福临, 陈传璋, 《数学分析》, 高等教育出版社, 北京, 2018-08, ISBN 978-7-0404-9718-2.
Advertisement