函子

函子是范畴论中的个概念，它把一个范畴中的对象映成另一个范畴的对象，把一个范畴中的态射映成另一个范畴中的态射，形象理解为范畴之间的“映射”。

定义

设有范畴$\mathsf{C}, \mathsf{D}$，一个从$\mathsf{C}$到$\mathsf{D}$的共变函子（covariant functor）$F$是由以下两部分组成的：

1. 对象族之间的映射$$\begin{align} F: \operatorname{Obj} \mathsf{C} & \to \operatorname{Obj} \mathsf{D}, \\ A & \mapsto F(A); \end{align}$$
2. 态射集之间的映射$$\begin{align} F: \operatorname{Hom}_\mathsf{C} (A, B) & \to \operatorname{Hom}_\mathsf{D} (F(A), F(B)), \\ f & \mapsto F(f). \end{align}$$

且满足

1. 保持恒等态射$\forall A \in \operatorname{Obj} \mathsf{C}, F(1_A) = 1_{F(A)};$
2. 保持态射的结合性$\forall f \in \operatorname{Hom}_\mathsf{C} (A, B), \forall g \in \operatorname{Hom}_\mathsf{C} (B, C), F(g \circ f) = F(g) \circ F(f).$

共变函子的余概念是反变函子（contravariant）：
设有范畴$\mathsf{C}, \mathsf{D}$，一个从$\mathsf{C}$到$\mathsf{D}$的反变函子$F$是由以下两部分组成的：

1. 对象族之间的映射$$\begin{align} F: \operatorname{Obj} \mathsf{C} & \to \operatorname{Obj} \mathsf{D}, \\ A & \mapsto F(A); \end{align}$$
2. 态射集之间的映射$$\begin{align} F: \operatorname{Hom}_\mathsf{C} (A, B) & \to \operatorname{Hom}_\mathsf{D} (F(B), F(A)), \\ f & \mapsto F(f). \end{align}$$

且满足

1. 保持恒等态射$\forall A \in \operatorname{Obj} \mathsf{C}, F(1_A) = 1_{F(A)};$
2. 保持态射的结合性$\forall f \in \operatorname{Hom}_\mathsf{C} (A, B), \forall g \in \operatorname{Hom}_\mathsf{C} (B, C), F(g \circ f) = F(f) \circ F(g).$

由对偶原理，对反变函子的研究可以归结为对共变函子的研究。

单满性

假设共变函子$F$如上定义，那么当函子中态射集间的映射 $$\begin{align} F: \operatorname{Hom}_\mathsf{C} (A, B) & \to \operatorname{Hom}_\mathsf{D} (F(A), F(B)), \\ f & \mapsto F(f). \end{align}$$

1. 是单射时，称$F$是忠实函子，或局部单的函子（faithful functor）；
2. 是满射时，称$F$是满函子，或局部满的函子（full functor）。

一个范畴$\mathsf{C}$上的单位函子$1_\mathsf{C}: \mathsf{C} \to \mathsf{C}$是指它的两个部分满足如下条件的函子

• 对象间的映射是恒等映射，以及态射集上的映射也是恒等映射。

单位函子是既单又满的函子。

遗忘函子

一个集合连带上某些运算会形成较为复杂的代数结构，如群、环、模。这些代数结构再回到它们定义所依赖的集合上的一个函子，就称为遗忘函子（forgetful functor）。

从一个群，如果添加某种合适的运算，也可以成为一个环，这样从环到群也会定义一个函子，也称为遗忘函子。

遗忘函子是局部单的函子。

函子的复合

设$\mathsf{C, D, E}$是三个范畴，有函子$F: \mathsf{C} \to \mathsf{D}, G: \mathsf{D} \to \mathsf{E}$，我们定义 $F \circ G: \mathsf{C} \to \mathsf{E}$是$F$和$G$的复合函子，它有单位元，且可复合。

这启发我们定义一个新范畴，这个新范畴以范畴为对象，范畴之间的函子为态射。但很遗憾的是这可能行不通，因此我们退而求其次，我们以所有的小范畴为对象，小范畴之间的函子为态射，这样就定义出了一个新范畴，我们记作$\mathsf{Cat}$。

函子的同构

设$\mathsf{C, D}$是范畴，有函子$F: \mathsf{C} \to \mathsf{D}$，如果存在一个函子$G: \mathsf{D} \to \mathsf{C}$使得$G \circ F = 1_\mathsf{C}, F \circ G = 1_\mathsf{D}$，我们就称$F: \mathsf{C} \to \mathsf{D}$是一个同构（isomorphism）。

一个函子是同构当且仅当它是既单又满的函子，且它关于对象的映射是双射。