凸集分离定理

凸集分离定理是 Hahn-Banach 定理的几何形式，它是平面（或三维空间）中两个不相交凸集合可以用一条直线（或平面）分开的简单事实的推广。

分离

要描述一般（赋范）线性空间的凸集分离，必须要明确分离的概念，在二维或三维的场合，我们是借助直线或平面分离集合的，在一般的线性空间中，这个概念被推广为超平面。

假设有线性空间$X$及其上的线性泛函$f$，给定实数$r \in \R$，由水平集 $$H_f^r = \{ x \in X: f(x) = r \}$$ 定义的超平面，使得一个集合$S$在$H_f^r$的一侧，是指下式之一成立

1. $\forall s \in S, \quad f(s) \geqslant r.$
2. $\forall s \in S, \quad f(s) \leqslant r.$

等价地说 $$\forall s, t \in S, \quad (f(s)-r)(f(t)-r) \geqslant 0.$$ 称一个超平面$H_f^r$分离（separate）两个集合$S, T$，是指 $$\forall s \in S, \forall t \in T, \quad (f(s)-r)(f(t)-r) \leqslant 0.$$ 不妨我们可以假设

1. $\forall s \in S, \quad f(s) \geqslant r.$
2. $\forall t \in T, \quad f(t) \leqslant r.$

如果上面两个式子同时反号，仅需调换$S, T$的位置即可。

凸集分离定理

首先指出一个点和一个凸集分离的情形（这是后者两个凸集情形的特例，也是证明后者的基础）：假设有实赋范线性空间$X$，其中有一点$x_0 \in X$以及一个以原点为内点（如果不含原点，可以做平移，但是一定要有一个内点）的真凸子集（在证明时为了简化可以要求它还是吸收的对称的）$E$，且满足$x_0 \notin E$，那么存在一个超平面分离$x_0$与$E.$

证明的思路是使用 Minkowski 泛函构造一个一维空间$\text{span}\{x_0\}$上找到符合要求的控制函数（次泛函），再用次泛函构造$\text{span}\{x_0\}$上符合要求的线性泛函$f$，最后使用 Hahn-Banach 定理延拓到$X$上。由于上述过程要使用 Minkowski 泛函构造$f$，所以为了让$f$是连续的，必须要求凸集$E$是对称的且吸收的。在不对称的情形可以使用一列开球逼近凸集边界。

（凸集分离定理，单点集情形）假设$C$是$X$中的非空开凸集，$x_0 \in X \setminus C$，那么存在一个$X$上的连续线性泛函$f$使得$f(x) < f(x_0), \forall x \in C.$

关于这个定理/命题的证明，单击这里以显示/折叠

经过一个平移我们可以假设原点$0 \in C$，定义$C$的 Minkowski 泛函 $$p(x) = \inf \{ \alpha > 0: \alpha^{-1} x \in C \}.$$ 考察$G = \text{span}(x_0)$上的线性泛函$g: tx_0 \mapsto t.$

我们断言：$g(tx_0) = t \leqslant p(tx_0).$

1. 如果$t=0$，那么$g(0) = 0 = \inf\{ \alpha > 0 \} = p(0).$
2. 如果$t > 0$，那么$p(tx_0) = tp(x_0)$，因为$x_0 \notin C$而$C = \{ x \in X: p(x) < 1 \}$，则$p(x_0) \geqslant 1.$
3. 如果$t < 0$，那么由$p$的非负性立即得到结论。

根据 Hahn-Banach 定理，存在$X$上的线性泛函$f$满足

1. $f(tx_0) = g(tx_0), \quad \forall t \in \R.$
2. $f(x) \leqslant p(x), \quad \forall x \in X.$

由于$p$是连续的，那么$f$是连续的且$f(x_0) = g(x_0) = 1.$而在整个凸集$C$上$f(x) \leqslant p(x) < 1.$这样我们就找到了符合条件的$f$。

（凸集分离定理，第一形式）假设$A, B$是赋范线性空间$X$中的两个凸子集，$A \cap B = \varnothing$，且$A$是开集，那么存在一闭超平面分离两集合，即存在$f \in X^*$使得$f(A) \leqslant f(B).$

关于这个定理/命题的证明，单击这里以显示/折叠

令$C = A - B := \{ a - b: a \in A, b \in B \}$，那么

1. $C$是凸集（详见凸集的性质一节）。
2. $C = \bigcup_{b \in B} \{a + b: a \in A \}$是开集：注意到$\{a + b: a \in A \}$是开集$A$的平移，它依然是开集，开集的任意并依然是开集。
3. $0 \ne C$：因为$A \cap B = \varnothing$。

那么根据上一个定理可以得到存在$f$使得对任意$a \in A, b \in B$成立 $$f(a-b) = f(a) - f(b) < f(0) = 0.$$ 于是取确界 $$\sup_{a \in A} f(a) \leqslant \inf_{b \in B} f(b).$$

（凸集分离定理，第二形式）假设$A, B$是赋范线性空间$X$中的凸子集，$A \cap B = \varnothing$，$A$是闭集而$B$是紧集，那么可以用一个闭超平面严格分离这两个凸集，即存在一个$X$上的连续线性泛函$f$使得$f(A) < f(B).$

关于这个定理/命题的证明，单击这里以显示/折叠

令$C = A - B := \{ a - b: a \in A, b \in B \}$，那么

1. $C$是凸集（详见凸集的性质一节）。
2. $C$是闭集：任取收敛列$\{ a_n - b_n \}_{n=1}^\infty \in C$，我们要证明它的极限$z \in \overline{C}$可以写成$a-b$的形式，注意到$B$是紧的，那么$\{ y_n \}$有收敛子列$\{ y_{n_k} \}$，那么考察子列$\{ x_{n_k} - y_{n_k} \}_{k=1}^\infty$，而$y_{n_k} \to b \in B$，那么$x_{n_k} = z - y_{n_k} \to z - b =: a \in A$，于是我们就证明了$z = a - b \in C.$
3. $0 \ne C$：因为$A \cap B = \varnothing$。

那么$C^c$是开集，那么存在原点的一个开邻域$B(0, r) \subset C^c$即$C \cap B(0, r) = \varnothing$。由凸集分离定理的第一形式，存在一个$X$上的非零连续线性泛函$f$使得$f(B(0, r)) \leqslant f(C)$即 $$f(rz) \leqslant f(a - b) = f(a) - f(b), \quad \forall z \in B(0, 1), z \in A, b \in B.$$ 注意到$\| f \| = \sup_{z \in B(0, 1)} f(z)$，则 $$f(a) \geqslant f(b) + r \| f \|, \quad \forall a \in A, b \in B.$$ 这也就是说 $$f(A) \geqslant f(B) + r \| f \| > f(B).$$

评注

关于凸集分离定理有很多版本，这里只列出了做核心的两个形式（第一形式即分离两个开凸集的定理，第二形式即严格分离两个闭凸集的定理），这两个定理的条件一般而言是不能减弱的。

1. 在第一形式中，如果其中一个集合不是凸集，那么结论可能不成立，例如一维以上的赋范线性空间$X$中的开球$B = \{ x \in X: \| x \| < 1 \}$和开圆环$D = \{ x \in X: 1 < \| x \| < 2 \}.$
2. 在第一形式中，结论不能加强为严格分离，例如$\mathbb R^{2}$中的开圆盘$B = \{ (x, y) \in \R^2: x^2 + y^2 < 1 \}$以及闭线段$\{ (x, 1) \in \R^2: -1 \leqslant x \leqslant 1 \}.$
3. 在第二形式中，紧集的条件不能减弱为闭集，例如在$l^1$（绝对可和的数列全体，范数为绝对值数列的级数和）中的两个子空间$$\begin{align} X &= \{ (x_n) \in l^1: x_{2k} = 0, \forall k \in \N^+ \}. \\ Y &= \{ (y_n) \in l^1: y_{2k} = 2^{-k} y_{2k-1}, \forall k \in \N^+ \}. \end{align}$$令$$c = (c_n), \quad \begin{cases} c_{2k} &= 2^{-k}, \\ c_{2k-1} &= 0, \end{cases} \quad \forall k \in \N^+.$$我们有
   1. $X, Y$是闭子空间，但不是紧的。取$l^1$的对偶基$\{ \delta_n \}_{n=1}^\infty$，每一个元素都是连续的，且$$X = \bigcap_{n \in \N} \ker \delta_n, \quad Y = \bigcap_{n \in \N} \ker (\delta_{2n} - 2^{-n} \delta_{2n-1})$$因此它们都是闭子空间。
   2. $l^1 = \overline{X+Y}.$我们已经有$X \subset E$，只需要证明奇数位置非零的序列$z = (z_n)$（$z_{2n-1} = 0, \forall n \in \N^+$）能够被$X + Y$中的元素逼近即可，参见这里。
   3. $c \notin X+Y$，由于$X + Y$中的元素必须在偶数位置上是前一个位置的值的非零倍数，但是$c$在奇数位置上是零，如果在$X + Y$中那么偶数位置上必然是零。
   4. $X - c$和$Y$不交，因为这两个空间中的元素在偶数位置不一样。
   5. 不存在一个闭超平面分离二者，假设存在非零$f \in (l^1)^*$分离二者，不妨假设存在$\alpha \in \R$使得$f(X-c) \leqslant f(Y)$，然而$$\sup_{x \in X} f(x-c) \leqslant \inf_{y \in Y} f(y)$$则$$\sup_{x-y \in X+Y} f(x-y) \leqslant f(c)$$即$f$在子空间$X + Y$有上界，可是$f$连续，这就导致$f(X+Y) = 0$，而$X + Y$在$l^1$中稠密，因此$f$在$l^1$上恒为零，矛盾。
4. 在第二形式中，如果$X$是有限维的，那么严格分离就不需要添加紧性的要求。

参考资料

1. 张恭庆, 林源渠, 《泛函分析讲义（上册）（第二版）》, 高等教育出版社, 北京, 2021-01, ISBN 978-7-3013-0964-3.