凸集

凸集（convex set）是 Euclid 空间中一个点集的特征的抽象，一个点集的凸性表现在在 Eucild 空间中为该点集中任意两点的连线段上的点都在该点集中。这个概念可以推广到一般的线性空间中去。利用凸集可以定义 Minkowski 泛函。

概念

设有线性空间$V$，$M$是$V$中的一个点集，如果$\forall x, y \in M, \forall 0 \leqslant t \leqslant 1$，都有$tx + (1-t)y \in M$，我们就说$M$是$V$中的一个凸集。

凸集的交集依然是凸集，但是并集不一定是凸集。另设$A \subset V$，我们称包含$A$的一切凸集的交集为$A$的凸包，记作$\text{co } A$。

给定向量组$\{ x_k \}_{k=1}^n$，另有正常数$\lambda_k \geqslant 0, k = 1,2,\cdots,n$满足$\sum_{k=1}^n \lambda_k = 1$，我们称$\sum_{k=1}^n \lambda_k x_k$是$\{ x_k \}_{k=1}^n$的凸组合。

可以证明，集合$A$的凸包为$A$中元素任意凸组合的全体。

均衡凸集

假设有域$\mathbb{K}$上的线性空间$V$，$A \subset V$且$\forall x \in A, \forall \alpha \in \mathbb{K}$满足$|\alpha| = 1$且$\alpha x \in A$，我们就称$A$是均衡凸集。

特别地，在实线性空间里均衡凸集也被称为对称凸集。

吸收凸集

设有线性空间$V$，$A \subset V$且零元$\theta \in A$，如果$\forall x \in V, \exists \lambda \in \R^+$，使得$\dfrac{x}{\lambda} \in A$，我们就称$A$是吸收凸集。

差集

凸集的差集依然是凸集：若$A, B$是凸集，那么$A - B = \{ a - b: a \in A, b \in B \}$是凸集。

关于这个定理/命题的证明，单击这里以显示/折叠

对任意的$a_1 - b_1, a_2 - b_2 \in A - B, t \in [0, 1]$，我们有 $$t(a_1-b_1)+(1-t)(a_2-b_2) = ta_1+(1-ta_2) - (tb_1+(1-t)b_2).$$ 注意到$a_1, a_2 \in A, b_1, b_2 \in B$且$A, B$是凸集，即$ta_1+(1-ta_2) \in A, tb_1+(1-tb_2) \in B$，于是$t(a_1-b_1)+(1-t)(a_2-b_2) \in A-B.$

其它性质

假设$C$是赋范线性空间$X$中的凸集，那么$\overline{C}, \text{Int} C$都是凸集，且进一步我们有$$\forall x\in C,y\in {\text{Int}}C,t\in (0,1),\quad tx+(1-t)y\in {\text{Int}}C.$$进一步$\overline{C} = \overline{\text{Int} C}.$

若$C$是 Banach 空间$X$中的闭凸子集，$D$相对$C$有界开，那么存在$X$中的有界开集$D^*$满足${\overline {D^{*}}}\cap C={\overline {D}}.$

参考资料

1. 张恭庆, 林源渠, 《泛函分析讲义（上册）（第二版）》, 高等教育出版社, 北京, 2021-01, ISBN 978-7-3013-0964-3.