几何概型

在概率论中，几何概型是一类将概率和几何图形联系起来进而解决有关概率问题的概率模型。

概念

设在概率空间$(\mathit{\Omega}, \mathcal{F}, P)$中，样本空间$\mathit{\Omega}$可以同构到一个有限维 Euclid 空间的可测集上去（我们仍用$\mathit{\Omega}$表示该集合），这样我们关注的任意一个随机事件$A \in \mathcal{F}$可以同构到集合$\mathit{\Omega}$的子集上（我们仍用$A$表示）。

接下来，我们定义几何概型的基本假设——等可能性：设在上述定义的基础上有一个该随机现象的随机向量$\boldsymbol{X} \in \R^d$，我们说如果这个随机向量服从集合$\mathit{\Omega}$上的均匀分布，即它的联合概率密度函数是 $$f(\boldsymbol{x}) = \begin{cases} \dfrac{1}{m(\mathit{\Omega})}, & \boldsymbol{x} \in \mathit{\Omega}, \\ 0 , & \boldsymbol{x} \notin \mathit{\Omega}. \end{cases}$$ 其中，有限数$m(\mathit{\Omega})$是$\mathit{\Omega}$的测度（一维下为长度、二维下为其面积、三维下为其体积）。

这样，几何概型的概率就定义为 $$P \{ \boldsymbol{X} \in A \} = \dfrac{m(A)}{m(\mathit{\Omega})}$$ 其中，$m(A)$是集合$A$的测度。

显然这样定义的概率具有非负性规范性以及可列可加性。

如果我们不叙述清楚“等可能性”的话，几何概率将无从展开，因此必须借助随机向量的概念（一个有趣的问题是 Bertand 奇论）。

上下节

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• 下一节：条件概率

参考资料

1. 李贤平, 《概率论基础（第3版）》, 高等教育出版社, 北京, 2010-04, ISBN 978-7-0402-8890-2.