几何分布

在概率论中，几何分布也称等待时间分布，是一个十分重要的概率分布。

模型

设在伯努利试验中$P(A) = p, P(\overline{A}) = q = 1-p$，那么事件$A$首次发生在第$k$次试验的概率是

$$g(k; p) = q^{k-1} p,$$

容易验证几何分布满足规范化条件

$$\sum_{k=1}^\infty g(k; p) = \sum_{k=1}^\infty q^{k-1} p = \dfrac{p}{1-q} = 1.$$

因其求和使用到几何级数而得名。

对于几何分布，我们通常用随机变量$X$表示等待事件$A$发生进行的试验的次数$k$，这样

$$P\{ X = k \} = g(k; p) = q^{k-1} p.$$

R 语言的几何分布分布律函数为dgeom，一些不同参数的几何分布分布律为

无记忆性

服从几何分布的随机变量是离散型随机变量中唯一一种具有无记忆性的变量，即：若$X$是取正整数值的随机变量，已知$P\{ X = k+1 | X>k \}$的值与$k$无关，那么$X$服从且仅服从几何分布。

期望和方差

二项分布的期望和方差分别是$E(X) = \dfrac{1}{p}, D(X) = \dfrac{q}{p^2}.$ 这是因为

$$\begin{align} E(X) & = \sum_{k=1}^\infty k q^{k-1} p \\ & = p \left( \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}q} \sum_{k=1}^\infty q^k \right) \\ & = p \dfrac{1}{(1-q)^2} = \dfrac{1}{p}. \\ D(X) & = E(X^2) - (E(X))^2 \\ & = \sum_{k=1}^\infty k^2 q^{k-1} p - \dfrac{1}{p^2} \\ & = p \left[ \sum_{k=1}^\infty (k+1)k q^{k-1} - \sum_{k=1}^\infty k q^{k-1} \right] - \dfrac{1}{p^2} \\ & = p \left( \dfrac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}q^2} \sum_{k=1}^\infty q^{k+1} - \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}q} \sum_{k=1}^\infty q^k \right) - \dfrac{1}{p^2} \\ & = p \left[ \dfrac{2}{(1-q)^3} - \dfrac{1}{(1-q)^2} \right] - \dfrac{1}{p^2} = \dfrac{q}{p^2}. \end{align}$$

几何分布的特征函数是$\dfrac{p\text{e}^{\text{i}t}}{1-q\text{e}^{\text{i}t}}.$

统计特性

充分完全统计量

含有参数$p \in (0, 1)$的几何分布族的一个充分完全统计量是$T = \sum_{i=1}^n X_i.$它服从 Pascal 分布。

点估计

含有参数$p \in (0, 1)$的几何分布族，关于参数的函数$p^{-1}$的矩估计和一致最小方差无偏估计都是$\overline{X}.$而参数$p$的一致最小方差无偏估计是$\dfrac{n-1}{n\overline{X}-1}.$

上下节

• 上一节：二项分布
• 下一节：Pascal 分布

参考资料

1. 李贤平, 《概率论基础（第3版）》, 高等教育出版社, 北京, 2010-04, ISBN 978-7-0402-8890-2.