几乎处处

在实变函数和测度论中，几乎处处（almost everywhere）是一个经常出现的名词，对其讨论总会给定一个测度。

概念

给定可测空间$(X, \mathcal{F})$及测度$\mu$（或符号测度，复测度），一个命题$P$在集合$E$上关于$\mu$几乎处处成立，是说，除去一个零测集$Z$（即$\mu(Z) = 0$），命题$P$在$E/Z$上恒成立。记作$\text{a.e. } x \in E$，在有多个符号测度或复测度时为做区分也记作$\mu-\text{a.e. } x \in E.$

例如，在 Lebesgue 测度的前提下，一个函数$f(x)$在$\R^n$上的点集$E$几乎处处连续，是说除去一个零测集$Z$，函数$f(x)$在$E/Z$上连续。

同样有可测函数列的几乎处处收敛。

近

比几乎处处条件弱的命题，是“近”的概念，它是说除去一个很小的正测集$M$（即$\mu(M) > 0$）外，命题$P$在$P/M$上恒成立。

例如可测函数列的近一致收敛性。

参考资料

1. 周民强, 《实变函数论（第三版）》, 北京大学出版社, 北京, 2016-10, ISBN 978-7-3012-7647-1.

参考资料

1. 周民强, 《实变函数论（第三版）》, 北京大学出版社, 北京, 2016-10, ISBN 978-7-3012-7647-1.