在向量分析中,准范数是一个度量向量“距离”的函数,是向量范数的推广。
注意:对范数这个概念的弱化会得到各种定义在线性空间上的正性函数,这里的准范数可能在别的参考文献里指的其它东西,例如线性泛函中的 Frechet 空间的准范数或者半范数(次线性泛函)。
概念[]
设域上有一向量空间,它的一组基底是。如果一个函数满足
- 正定性:,当且仅当
- 齐次性:
- 连续性:设,在上连续。
向量范数满足的三角不等式可以推出连续性,因此向量范数是准范数。不是向量范数的准范数是存在的。
紧性[]
设是上的准范数,那么集合和都是紧集,由此可知向量范数也满足这个性质。
对偶范数[]
设是上的准范数,函数
称为的对偶范数,是的共轭转置。
它有如下等价定义
的对偶范数是向量范数,尽管可能不是向量范数。
以下不等式是 Cauchy-Schwarz 不等式之推广:
设是上的准范数,那么总有
参考资料
- Roger A. Horn, Matrix Analysis(2nd Ed.), Cambridge University Press, 2012-10, ISBN
978-0-5215-4823-6
.
数值代数(学科代码:1106150,GB/T 13745—2009) | |
---|---|
范数 | 向量范数 ▪ 准范数 ▪ 向量序列 ▪ 矩阵范数 ▪ 广义矩阵范数 ▪ 对偶范数 ▪ 从属范数 ▪ 谱范数 ▪ Frobenius 范数 ▪ 谱半径 ▪ 矩阵级数 ▪ 矩阵指数 ▪ 条件数 |
线性方程组的 数值解 |
列主元消去法 ▪ Jacobi 方法 ▪ Gauss-Seidel 方法 ▪ 超松弛法 ▪ 投影方法 ▪ Krylov 子空间方法 ▪ Arnoldi 算法 ▪ 完全正交方法 ▪ 广义极小残量法 ▪ 共轭梯度法 ▪ 极小残量法 ▪ 预条件共轭梯度法 ▪ 最小二乘法 |
矩阵分解和 特征值问题 |
Rayleigh 商 ▪ 幂法 ▪ 反幂法 ▪ Gerschgorin 圆盘 ▪ LU 分解 ▪ Cholesky 分解 ▪ QR 分解 ▪ Givens 变换 ▪ Householder 矩阵 ▪ Householder 方法 ▪ Hessenberg 矩阵 ▪ QR 算法 ▪ Jordan-Chevalley 分解 ▪ 极分解 ▪ 奇异值分解 |
所在位置:数学(110)→ 计算数学(11061)→ 数值代数(1106150) |