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在向量分析中,准范数是一个度量向量“距离”的函数,是向量范数的推广。

注意:对范数这个概念的弱化会得到各种定义在线性空间上的正性函数,这里的准范数可能在别的参考文献里指的其它东西,例如线性泛函中的 Frechet 空间的准范数或者半范数次线性泛函)。

概念[]

上有一向量空间,它的一组基底是。如果一个函数满足

  1. 正定性:当且仅当
  2. 齐次性:
  3. 连续性:设上连续。

向量范数满足的三角不等式可以推出连续性,因此向量范数是准范数。不是向量范数的准范数是存在的。

紧性[]

上的准范数,那么集合都是紧集,由此可知向量范数也满足这个性质。

对偶范数[]

上的准范数,函数

称为的对偶范数,共轭转置

它有如下等价定义

的对偶范数是向量范数,尽管可能不是向量范数。

以下不等式是 Cauchy-Schwarz 不等式之推广:
上的准范数,那么总有

参考资料

  1. Roger A. Horn, Matrix Analysis(2nd Ed.), Cambridge University Press, 2012-10, ISBN 978-0-5215-4823-6.
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