一个集合
的内部(interior),一般记作
或
,是指
中不在边界上的点(称为内点)所构成的集合,它始终是开集。集合的内部与闭包是一对对偶概念。拓扑的概念可以使用内部公理构建,这等价于开集公理,详见拓扑。
度量空间[]
对度量空间
中的某个集合
而言,
的内部可以开球来定义:若有一以
为中心的开球
为
的内部集合
的子集,则
为
的内部点。
拓扑空间[]
在拓扑空间
中,一个集合
是开集当且仅当
,即
为其自身的内部。
集合
的闭包是该集合内部和边界的并集。
拓扑空间
中的一个集合
的内部
等价定义还有
中所有含于
的开集的并集(即:含于
的最大开集)。
中所有有包含于
的邻域的点的集合。
性质[]
假设集合
是拓扑空间
中定义的点集,
- 若
,则


- 互补的两集合,其中一个集合的闭包和另一个集合的内部互补:


- 假设
是一族
中的无穷集合,那么


相对内部[]
内部和开集闭集一样是相对的概念。假设
是拓扑空间,
是
的子空间,
的闭包可能在
中的内部
和在
中的内部
是不同的,但是儅
是
的开集时二者相同,一般情况下有

闭包也具有类似的性质。
参考资料
- John M. Lee, Introduction to Topological Manifolds(2nd Ed.), Springer, New York, 2010-12, ISBN
978-1-4419-7939-1
. - 熊金城, 《点集拓扑讲义(第五版)》, 高等教育出版社, 北京, 2020-06, ISBN
978-7-0405-3617-1
.