一個集合
的內部(interior),一般記作
或
,是指
中不在邊界上的點(稱爲內點)所構成的集合,它始終是開集。集合的內部與閉包是一對對偶概念。拓撲的概念可以使用內部公理構建,這等價於開集公理,詳見拓撲。
度量空間[]
對度量空間
中的某個集合
而言,
的內部可以開球來定義:若有一以
為中心的開球
為
的內部集合
的子集,則
為
的內部點。
拓撲空間[]
在拓撲空間
中,一個集合
是開集當且僅當
,即
為其自身的內部。
集合
的閉包是該集合內部和邊界的併集。
拓撲空間
中的一個集合
的內部
等價定義還有
中所有含於
的開集的併集(即:含於
的最大開集)。
中所有有包含於
的鄰域的點的集合。
性質[]
假設集合
是拓撲空間
中定義的點集,
- 若
,則


- 互補的兩集合,其中一個集合的閉包和另一個集合的內部互補:


- 假設
是一族
中的無窮集合,那麽


相對內部[]
內部和開集閉集一樣是相對的概念。假設
是拓撲空間,
是
的子空間,
的閉包可能在
中的內部
和在
中的內部
是不同的,但是儅
是
的開集時二者相同,一般情況下有

閉包也具有類似的性質。
參考資料
- John M. Lee, Introduction to Topological Manifolds(2nd Ed.), Springer, New York, 2010-12, ISBN
978-1-4419-7939-1
. - 熊金城, 《點集拓撲講義(第五版)》, 高等教育出版社, 北京, 2020-06, ISBN
978-7-0405-3617-1
.