内部

一個集合$S$的內部（interior），一般記作$\text{Int}(S)$或$\overset{\circ}{S}, S^\circ$，是指$S$中不在邊界上的點（稱爲内點）所構成的集合，它始終是開集。集合的內部與閉包是一對對偶概念。拓撲的概念可以使用内部公理構建，這等價於開集公理，詳見拓撲。

度量空間

對度量空間$M$中的某個集合$Y$而言，$Y$的內部可以開球來定義：若有一以$x$為中心的開球$B(x)$為$Y$的內部集合$\text{Int}(Y)$的子集，則$x$為$Y$的內部點。

拓撲空間

在拓撲空間$X$中，一個集合$A$是開集當且僅當$A = \text{Int}(A)$，即$A$為其自身的內部。

集合$A$的閉包是該集合内部和邊界的并集。

拓撲空間$X$中的一個集合$A$的內部$\text{Int}(A)$等價定義還有

1. $X$中所有含於$A$的開集的并集（即：含於$A$的最大開集）。
2. $X$中所有有包含於$A$的鄰域的點的集合。

性質

假設集合$A, B$是拓撲空間$X$中定義的點集，

1. 若$A \subset B$，則$\text{Int}(A) \subset \text{Int}(B).$
2. $\text{Int}(A \cap B) = \text{Int}(A) \cap \text{Int}(B).$
3. $\text{Int}(A \cup B) \supset \text{Int}(A) \cup \text{Int}(B).$

互補的兩集合，其中一個集合的閉包和另一個集合的内部互補：

• $\text{Int}(X \setminus A) = X \setminus \overline{A}.$
• $\overline{X \setminus A} = X \setminus \text{Int}(A).$

假設$\{ A_i \}_{i \in I}$是一族$X$中的無窮集合，那麽

• $\text{Int}\left( \bigcap_{i \in I} A_i \right) \subset \bigcap_{i \in I} \text{Int}(A).$
• $\text{Int}\left( \bigcup_{i \in I} A_i \right) \supset \bigcup_{i \in I} \text{Int}(A).$

相對内部

内部和開集閉集一樣是相對的概念。假設$X$是拓撲空間，$A$是$X$的子空間，$B \subset A$的閉包可能在$A$中的内部$\text{Int}_A(B)$和在$X$中的内部$\text{Int}(B)$是不同的，但是儅$A$是$X$的開集時二者相同，一般情況下有

$$\text{Int}_A(B) = A \setminus(\overline{A \setminus B}).$$

閉包也具有類似的性質。

参考资料

1. John M. Lee, Introduction to Topological Manifolds(2nd Ed.), Springer, New York, 2010-12, ISBN 978-1-4419-7939-1.
2. 熊金城, 《点集拓扑讲义（第五版）》, 高等教育出版社, 北京, 2020-06, ISBN 978-7-0405-3617-1.