內積空間

這個頁面介紹的是一般的內積空間，包括無窮維的函數空間情形，有限維詳見 Euclid 空間。

內積空間是一個線性空間連帶一個內積函數構成的整體，它的有限維特例是 Euclid 空間，完備的內積空間稱為 Hilbert 空間。

內積

設有數域$\mathbb{K}$（可以是實數域，也可以是複數域）上的線性空間$V$，如果一個函數$(,): V \times V \to \mathbb{K}$滿足：

1. 第一對稱性：$(\lambda x_1 + \mu x_2, y) = \lambda (x_1, y) + \mu (x_2, y), \forall \lambda, \mu \in \mathbb{K}, \forall x_1, x_2, y \in V.$
2. 第二 Hermite 性：$(x, \lambda y_1 + \mu y_2) = \overline{\lambda} (x, y_1) + \overline{\mu} (x, y_2), \forall \lambda, \mu \in \mathbb{K}, \forall x, y_1, y_2 \in V.$

這裏$\overline{x}$表示數$x$的共軛，我們就稱這個函數是共軛雙線性函數，特別地，在實數域上的線性空間中，滿足上述條件的函數是對稱雙線性函數。在上述定義中，也有將第一變元規定為 Hermite 性而第二變元規定為對稱性的情況，這種記號會引出關於內積的各種不同性質，本社區在沒有特別強調的情況下都採用前者定義。

假設同上，稱滿足如下條件的共軛雙線性函數是一個半內積：

1. 非負定性：$\forall x \in V, (x, x) \geqslant 0.$
2. Hermite 性：$\forall x, y \in V, (x, y) = \overline{(y, x)}.$

如果上述定義的半內積還滿足正定性：

$(x, x) = 0 \iff x = \theta.$

我們就稱這是一個內積。

內積空間

假設線性空間$V$中定義了一個內積$(,)$，我們就稱具有內積的線性空間為內積空間，記作$(V, (,))$，在不引起混淆的情況下簡寫為$V.$

稱具有半內積的線性空間為半內積空間，稱具有共軛雙線性函數的線性空間為共軛雙線性空間，對稱雙線性度量空間是它的特例。

範數

內積空間$V$中內積可以誘導一個範數： $$\forall x \in V, \quad \| x \| = \sqrt{(x, x)}.$$ 且滿足 Cauchy-Schwarz 不等式： $$\forall x, y \in V, \quad |(x, y)| \leqslant \| x \| \| y \|.$$ 且等號取得當且僅當$x, y$線性相關。利用這個事實可以定義所謂夾角的概念：$x, y$的夾角規定為滿足條件 $$\cos \theta = \dfrac{|(x, y)|}{\|x\| \|y\|}.$$ 的實角度$\theta.$這裏雖然是從歐氏空間中推廣過來的，但它的餘弦規定為總是非負的。

上述內積空間按照上述定義的範數構成一個賦范線性空間，且這個空間還是嚴格凸的，這告訴我們內積空間都是賦范線性空間，但是反之不對，範數並不一定可以確定一個內積（即範數並不一定可以由內積誘導），一個範數可以由內積誘導當且僅當它滿足平行四邊形恆等式： $$\Vert {x} + {y} \Vert^2 + \Vert {x} - {y} \Vert^2 = 2(\Vert {x} \Vert^2 + \Vert {y} \Vert^2), \quad \forall {x}, {y} \in V.$$

完備的內積空間是 Hilbert 空間，因此 Hilbert 空間是 Banach 空間。

正交性

從歐氏空間中的垂直關係推廣過來的正交性概念： 假設$V$是一個內積空間，稱$x, y \in V$是正交的是指： $$(x, y) = 0.$$ 有時也記作$x \perp y.$假設$A$是$V$的子集（特別地，是子空間），且滿足$\forall y \in A, (x, y) = 0$，我們就稱$x$和$A$正交，記作$x \perp A.$稱集合 $$A^\perp := \{ x \in V: x \perp A \}$$ 是$A$的正交補，記作$M^\perp.$

不管$A$是否是$V$的子空間，$A^\perp$都是$V$的閉子空間。因此有正交補空間的概念。

正交基底

假設有指標集$\Lambda$確定的一組元素$\{ e_\lambda: \lambda \in \Lambda \}$，我們稱它是正交集，如果滿足：$\forall i,j \in \Lambda, i \ne j, e_i \perp e_j.$如果還有$(e_i, e_i) = 1, \forall i \in \Lambda$，我們就說$\{ e_\lambda: \lambda \in \Lambda \}$是正交規範集，或者標準正交集。

特別地，如果一個正交規範集$\{ e_\lambda: \lambda \in \Lambda \}$生成的子空間$M := \text{span} \{ e_\lambda: \lambda \in \Lambda \}$滿足$M^\perp = \{ \theta \}$，我們就說$\{ e_\lambda: \lambda \in \Lambda \}$是正交規範基底，顯然正交性是線性無關的強結論，因此正交規範基底是線性無關基底。

非零內積空間必有完備正交集，即存在一個正交集$\{ e_\lambda: \lambda \in \Lambda \}$，不存在非零元素$x \in V$使得$x \perp e_\lambda, \forall \lambda \in \Lambda.$Gram-Schmidt 正交化過程一可以推廣到一般的內積空間裏。至多可數無窮的一個線性無關向量組可以進行這樣的操作，而不可數無窮不能進行，因此一個線性空間的基底若是不可數無窮的，則不便於考慮正交化問題（實際上這樣的空間是不可分的）。

同構

兩個內積空間$V_1, V_2$是同構的，是指存在一個線性雙射$T: V_1 \to V_2$保持內積運算： $$\forall x, y \in V_1, T(x, y) = (Tx, Ty).$$

參見

• 復二次型
• 極化恆等式
• Hilbert 空間
• Bessel 不等式
• Parseval 等式
• 最佳逼近

參考資料

1. 張恭慶, 林源渠, 《泛函分析講義（上冊）（第二版）》, 高等教育出版社, 北京, 2021-01, ISBN 978-7-3013-0964-3.