内积空间

这个页面介绍的是一般的内积空间，包括无穷维的函数空间情形，有限维详见 Euclid 空间。

内积空间是一个线性空间连带一个内积函数构成的整体，它的有限维特例是 Euclid 空间，完备的内积空间称为 Hilbert 空间。

内积

设有数域$\mathbb{K}$（可以是实数域，也可以是复数域）上的线性空间$V$，如果一个函数$(,): V \times V \to \mathbb{K}$满足：

1. 第一对称性：$(\lambda x_1 + \mu x_2, y) = \lambda (x_1, y) + \mu (x_2, y), \forall \lambda, \mu \in \mathbb{K}, \forall x_1, x_2, y \in V.$
2. 第二 Hermite 性：$(x, \lambda y_1 + \mu y_2) = \overline{\lambda} (x, y_1) + \overline{\mu} (x, y_2), \forall \lambda, \mu \in \mathbb{K}, \forall x, y_1, y_2 \in V.$

这里$\overline{x}$表示数$x$的共轭，我们就称这个函数是共轭双线性函数，特别地，在实数域上的线性空间中，满足上述条件的函数是对称双线性函数。在上述定义中，也有将第一变元规定为 Hermite 性而第二变元规定为对称性的情况，这种记号会引出关于内积的各种不同性质，本社区在没有特别强调的情况下都采用前者定义。

假设同上，称满足如下条件的共轭双线性函数是一个半内积：

1. 非负定性：$\forall x \in V, (x, x) \geqslant 0.$
2. Hermite 性：$\forall x, y \in V, (x, y) = \overline{(y, x)}.$

如果上述定义的半内积还满足正定性：

$(x, x) = 0 \iff x = \theta.$

我们就称这是一个内积。

内积空间

假设线性空间$V$中定义了一个内积$(,)$，我们就称具有内积的线性空间为内积空间，记作$(V, (,))$，在不引起混淆的情况下简写为$V.$

称具有半内积的线性空间为半内积空间，称具有共轭双线性函数的线性空间为共轭双线性空间，对称双线性度量空间是它的特例。

范数

内积空间$V$中内积可以诱导一个范数： $$\forall x \in V, \quad \| x \| = \sqrt{(x, x)}.$$ 且满足 Cauchy-Schwarz 不等式： $$\forall x, y \in V, \quad |(x, y)| \leqslant \| x \| \| y \|.$$ 且等号取得当且仅当$x, y$线性相关。利用这个事实可以定义所谓夹角的概念：$x, y$的夹角规定为满足条件 $$\cos \theta = \dfrac{|(x, y)|}{\|x\| \|y\|}.$$ 的实角度$\theta.$这里虽然是从欧氏空间中推广过来的，但它的余弦规定为总是非负的。

上述内积空间按照上述定义的范数构成一个赋范线性空间，且这个空间还是严格凸的，这告诉我们内积空间都是赋范线性空间，但是反之不对，范数并不一定可以确定一个内积（即范数并不一定可以由内积诱导），一个范数可以由内积诱导当且仅当它满足平行四边形恒等式： $$\Vert {x} + {y} \Vert^2 + \Vert {x} - {y} \Vert^2 = 2(\Vert {x} \Vert^2 + \Vert {y} \Vert^2), \quad \forall {x}, {y} \in V.$$

完备的内积空间是 Hilbert 空间，因此 Hilbert 空间是 Banach 空间。

正交性

从欧氏空间中的垂直关系推广过来的正交性概念： 假设$V$是一个内积空间，称$x, y \in V$是正交的是指： $$(x, y) = 0.$$ 有时也记作$x \perp y.$假设$A$是$V$的子集（特别地，是子空间），且满足$\forall y \in A, (x, y) = 0$，我们就称$x$和$A$正交，记作$x \perp A.$称集合 $$A^\perp := \{ x \in V: x \perp A \}$$ 是$A$的正交补，记作$M^\perp.$

不管$A$是否是$V$的子空间，$A^\perp$都是$V$的闭子空间。因此有正交补空间的概念。

正交基底

假设有指标集$\Lambda$确定的一组元素$\{ e_\lambda: \lambda \in \Lambda \}$，我们称它是正交集，如果满足：$\forall i,j \in \Lambda, i \ne j, e_i \perp e_j.$如果还有$(e_i, e_i) = 1, \forall i \in \Lambda$，我们就说$\{ e_\lambda: \lambda \in \Lambda \}$是正交规范集，或者标准正交集。

特别地，如果一个正交规范集$\{ e_\lambda: \lambda \in \Lambda \}$生成的子空间$M := \text{span} \{ e_\lambda: \lambda \in \Lambda \}$满足$M^\perp = \{ \theta \}$，我们就说$\{ e_\lambda: \lambda \in \Lambda \}$是正交规范基底，显然正交性是线性无关的强结论，因此正交规范基底是线性无关基底。

非零内积空间必有完备正交集，即存在一个正交集$\{ e_\lambda: \lambda \in \Lambda \}$，不存在非零元素$x \in V$使得$x \perp e_\lambda, \forall \lambda \in \Lambda.$Gram-Schmidt 正交化过程一可以推广到一般的内积空间里。至多可数无穷的一个线性无关向量组可以进行这样的操作，而不可数无穷不能进行，因此一个线性空间的基底若是不可数无穷的，则不便于考虑正交化问题（实际上这样的空间是不可分的）。

同构

两个内积空间$V_1, V_2$是同构的，是指存在一个线性双射$T: V_1 \to V_2$保持内积运算： $$\forall x, y \in V_1, T(x, y) = (Tx, Ty).$$

参见

• 复二次型
• 极化恒等式
• Hilbert 空间
• Bessel 不等式
• Parseval 等式
• 最佳逼近

参考资料

1. 张恭庆, 林源渠, 《泛函分析讲义（上册）（第二版）》, 高等教育出版社, 北京, 2021-01, ISBN 978-7-3013-0964-3.