内积

这里介绍线性空间中定义的内积，它的范围要比直观几何中一般所说的内积（数量积）要广泛。

定义

一对称双线性度量空间$(V;+,\cdot;\mathbb{P};f)$，如果其中的非奇异对称双线性函数还具有以下性质

$$\forall \alpha \in V, f(\alpha, \alpha) \geqslant 0$$

我们就称满足这个性质的函数称为正定性双线性函数（positive definite bilinear function），如果这个线性空间是定义在实数域上的，这个函数也叫内积（inner product），常用$(\alpha, \beta)$表示，即

$$\forall \alpha, \beta \in V, f(\alpha, \beta) = (\alpha, \beta)$$

由此，我们可以知道，这个正定性是比非奇异性更强的一个条件，如果一个函数有正定性，那它一定非奇异，反之未必。

正定性的函数，$(\alpha, \alpha) = 0$当且仅当$\alpha=0$。这通常用来证明两个向量相等，如$(\alpha - \beta, \alpha - \beta) = 0$，则$\alpha = \beta$。

例子

这里的内积要比直观几何中定义的内积要更广泛，例如在有限维几何空间中的内积是这样定义的（选用自然基底）：

$$\forall \alpha = (a_1, a_2, \cdots, a_n)^{\text{T}}, \beta = (b_1, b_2, \cdots, b_n)^{\text{T}}, (\alpha, \beta) = \sum_{k=1}^n a_k b_k$$

但是，只要满足正定性，这样定义出来的都可以称为内积，例如，

$$\forall \alpha = (a_1, a_2, \cdots, a_n)^{\text{T}}, \beta = (b_1, b_2, \cdots, b_n)^{\text{T}}, (\alpha, \beta) = \sum_{k=1}^n k a_k b_k$$

在泛函分析中涉及到的一个闭区间$[a, b]$上$L^2$可积函数的全体，它的如下定积分也是一个内积。

$$(f(x), g(x)) = \int_a^b f(x)g(x) \mathrm{d} x$$

性质

内积具有正定性，非奇异性以及对称性。

1. $\forall \alpha \in V, (\alpha, \alpha) \geqslant 0$
2. $\forall \alpha, \beta \in V, (\alpha, \beta) = (\beta, \alpha)$

度量矩阵

内积对应的矩阵是正定矩阵，它的所有顺序主子式都是正的。 例如，在有限维几何空间中的内积是这样定义的（选用自然基底）：

$$\forall \alpha = (a_1, a_2, \cdots, a_n)^{\text{T}}, \beta = (b_1, b_2, \cdots, b_n)^{\text{T}}, (\alpha, \beta) = \sum_{k=1}^n a_k b_k$$

它的度量矩阵就是一个$n$阶单位矩阵。

上下节

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• 下一节：Euclid 空间

  参考资料

  1. 郭聿琦, 岑嘉评, 王正攀, 《高等代数教程》, 科学出版社, 北京, 2014-07, ISBN 978-7-0304-0417-6.