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在模论中,内射模(injective module)是投射模的对偶概念。

定义[]

假设是一个(可以没有乘法单位元),一个左 R-被称为是内射模,是指对任意 R-模正合列以及 R-模同态都存在一个 R-模同态使得即下列交换图可换:

这里定义的一定是单同态,因此正合列的条件就是说对任意 R-模单同态

注意按照定义,我们得不出内射模的存在性(后面将会指出,线性空间是内射模),也得不出它的唯一性。

等价刻画[]

假设是一个含幺环,是左 R-含幺模,那么下面的叙述等价:

  1. 是内射模。
  2. 对任意的左理想作为左 R-模都有任意 R-模同态都可以延拓为 R-模同态
  3. 对任意的左理想作为左 R-模以及任意 R-模同态都成立:存在使得对任意都有
  4. 任意短正合列是分裂的,即
  5. 是它的一些子模的直积。

由最后一条直接可以得到,除环上的模特别地线性空间是内射模。

其它性质[]

下面假设是一个含幺环,是左含幺 R-模,

  1. 模的直积是内射模当且仅当每个是内射模。
  2. 每一个左 R-模是一个内射模的子模,这个事实可以认为是投射模自由模对偶成立的命题,但是这里由于我们没有和自由模对偶的对象,因此证明这个性质也就麻烦得多。

参考资料

  1. Thomas W. Hungerford, Algebra, GTM Vol.73, Springer, New York, 1974, ISBN 978-0-3879-0518-1.
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