内含集列原理

内含集列原理 (或称定理) 是通过改变区间套定理的条件最终在一般离散点集上建立起来的, 它可以用集合论的观点建立和描述数学分析的内容, 它可以被视为是实数连续性定理的等价命题, 也可以替代区间套及有限覆盖等定理对一些数学分析中的基本定理做出简洁证明.

一维形式

定理内容

设有一组非空数集 $G_n (n \in \mathbb{N^{+}})$, 若 $\forall n \in \mathbb{N^{+}}$, 有 $G_{n+1} \subseteq G_n \subseteq [a, b]$, 则 $\exists c \in [a, b], s.t. \forall \delta > 0 \forall m \in \mathbb{N^{+}}, G_n \cap U(c,\delta) \ne \varnothing.$

证明

证 因 $G_n$ 有下界, 从而有下确界, 记为 $c_n.$
因 $G_{n+1} \subseteq G_n \subseteq [a, b]$, 故 $\{c_n \}$ 非减且有上界 $b$, 从而收敛,
设 $\lim_{n \to \infty}c_n = c$. 显然由确界概念知 $a \leqslant c \leqslant b.$
$\forall \delta > 0 \forall m \in \mathbb{N^{+}},$ 取足够大的$n_1 > m, s.t. c - \delta < c_{n_1} \leqslant c.$
由确界概念知 $\exists \alpha \in G_{n_1} \subseteq G_m,$
满足 $c_{n_1} \leqslant \alpha < c_{n_1} + \delta$，
所以 $\alpha \in G_m \cup U(c,\delta).$

高维形式

二维形式

设有一组非空平面点集 $G_n (n \in \mathbb{N^{+}})$, 若 $\forall n \in \mathbb{N^{+}}$, 有 $G_{n+1} \subseteq G_n \subseteq D$ ($D$ 为某有界闭集,) 则 $\exists P_0 \in D, s.t. \forall \delta > 0 \forall m \in \mathbb{N^{+}}, G_n \cap U(P_0,\delta) \ne \varnothing.$

二维证明

设 $D \subseteq \{ (x, y) | a \leqslant x \leqslant b, c\leqslant y \leqslant d \},$
记 $A_n = \{x | \exists y, s.t. (x, y) \in G_n \}, (n \in \mathbb{N^{+}} )$, 则
$\forall n \in \mathbb{N^{+}}, A_n \ne \varnothing$ 且 $A_{n+1} \subseteq A_n \subseteq [a, b].$
由一维内含集列原理知, $\exists x_0, s.t. \forall \delta > 0 \forall m \in \mathbb{N^{+}}, A_m \cap U(x_0, \delta) \ne \varnothing$;
再记$B_n = \{ y | \exists x \in A_n \cap U(x_0, \dfrac{ \sqrt{2} }{2} \delta ), s.t. (x, y) \in G_n \}, (n \in \mathbb{N^{+}} )$，
显然 $B_n \ne \varnothing$ 且 $G_{n+1} \subseteq B_n \subseteq [c, d],$
$\therefore \exists y_0, s.t. \forall m \in \mathbb{N^{+}}, B_m \cap U(y_0, \dfrac{ \sqrt{2} }{2} \delta ) \ne \varnothing.$
记 $P_0(x_0, y_0),$ 取$x_1 \in A_m \cap U(x_0 , \dfrac{ \sqrt{2} }{2} \delta ), y_1 \in B_m \cap U(y_0, \dfrac{ \sqrt{2} }{2} \delta ),$
于是 $P_1 = (x_1, y_1) \in G_m.$ 由于
$| P_0 P_1 | = \sqrt{(x_0 - x_1)^2 + (y_0 - y_1)^2} \leqslant \sqrt{(\dfrac{ \sqrt{2} }{2} \delta)^2 + (\dfrac{ \sqrt{2} }{2} \delta)^2} = \delta.$
$\therefore P_1 \in U(P_0, \delta),$ 从而 $P_1\in G_m \cap U(P_0, \delta).$
最后, 由于 $D$ 为闭集，而且 $P_0$ 的任意一个邻域中都含有属于 $D$ 的点, 所以 $P_0 \in D.$

高维形式

利用数学归纳法, 类似地可以证得 $k$ 维空间上的内含集列原理, 设 $G_n \ne \varnothing , G_n \subset \mathbb{R}^k (n \in \mathbb{N^{+}})$, 若 $\forall n \in \mathbb{N^{+}}$, 有 $G_{n+1} \subseteq G_n \subseteq D$ ($D$ 为 $\mathbb{R}^k$ 中的有界闭集,) 则 $\exists P_0 \in D, s.t. \forall \delta > 0 \forall m \in \mathbb{N^{+}}, G_n \cap U(P_0,\delta) \ne \varnothing.$