关联矩阵的特征根

这里我们探讨和一个给定矩阵$A$相关的矩阵的特征值、特征多项式等情况。下面我们总是假设定义是有意义的，$A \in \mathbb{P}^{n \times n}$，$A$在$\mathbb{C}$上的特征根为$\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n$。

转置矩阵

转置矩阵和原矩阵具有相同的特征多项式和最小多项式，即 $$\Delta_A (x) = \Delta_{A^\text{T}} (x), \quad m_A (x) = m_{A^\text{T}} (x)$$ 因此$A$和$A^\text{T}$由完全相同的特征根（包括重数）。

多项式矩阵

设$f(x) \in \mathbb{P} [x]$，则$f(A)$在$\mathbb{C}$上的特征根为$f(\lambda_1), f(\lambda_2), \cdots, f(\lambda_n)$。

逆矩阵

逆矩阵可以表示为原矩阵的多项式矩阵

如果$A$可逆，则存在$g(x) \in \mathbb{P} [x]$使得$A^{-1} = g(A)$。 用最小多项式来证明：令 $$m_A (x) = x^r + b_{r-1} x^{r-1} + \cdots + b_1 x + b_0$$ 其中$b_0 \ne 0$ 再令 $$h(x) = x^{r-1} + b_{r-1} x^{r-2} + \cdots + b_1$$ 则 $$m_A (x) = h(x) x + b_0$$ 由零化多项式的性质，有 $$m_A (A) = h(A) A + b_0 E = O$$ 所以 $$\left( - \frac{1}{b_0} h(A) \right) A = E$$ 即 $$A^{-1} = - \frac{1}{b_0} h(A)$$ 这也就是说，$A$的逆矩阵可以用$A$的矩阵多项式表示，且这个多项式的系数是可以确定的。

逆矩阵及伴随矩阵的特征根

$A^{-1}$在$\mathbb{C}$的特征根为$\frac{1}{\lambda_1}, \frac{1}{\lambda_2}, \cdots, \dfrac{1}{\lambda_n}$

由$A^{-1} = \frac{|A|}{A^*}$可知$A^*$在$\mathbb{C}$的特征根为$\frac{|A|}{\lambda_1}, \frac{|A|}{\lambda_2}, \cdots, \dfrac{|A|}{\lambda_n}$

交换矩阵的特征多项式

若$A \in \mathbb{P}^{m \times n}, B \in \mathbb{P}^{n \times m}$，那么 $$\Delta_{AB} (x) = x^{m-n} \Delta_{BA} (x)$$ 特别地，当$m= n$时 $$\Delta_{AB} (x) = \Delta_{BA} (x)$$

应用

由此我们可以知道 $$\Delta_{AB} (x) = | x E_m - AB |, \quad \Delta_{BA} (x) = | x E_n - BA |$$ 那么，特别地，取$x=1$，则有 $$| E_m - AB | = | E_n - BA |$$ 左侧是一个$m$阶行列式，右侧是$n$阶行列式，则这个式子可以达到对行列式降阶的目的，例如$n=1$时右侧即为一个数字，大大简化了计算（式中的减号改为加号依旧成立）。 例如，我们考虑计算这个行列式 $$| I_n | = \begin{vmatrix} 1+a_1 & 1 & \cdots & 1 \\ 2 & 2+ a_2 & \cdots & 2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ n & n & \cdots & n+a_n \end{vmatrix}$$ 设$$C = D_{a_k,n} = \begin{pmatrix} a_1 & & & \\ & a_2 & & \\ & & \ddots & \\ & & & a_n \end{pmatrix} \quad A = \begin{pmatrix} 1\\2\\\vdots\\n\end{pmatrix} \quad B = (1,1,\cdots,1)$$ 则有 $$\begin{align} | I_n | & = | C + AB | \\ & = |C| |E_n + (C^{-1} A) B| \\ & = |1 + B (C^{-1} A)| |C| \\ & = \left( 1 + \sum_{i=1}^n \frac{1}{a_i} \right) \prod_{i=1}^n a_i. \end{align}$$

上下节

• 上一节：最小多项式
• 下一节：λ-矩阵

  参考资料

  1. 郭聿琦, 岑嘉评, 王正攀, 《高等代数教程》, 科学出版社, 北京, 2014-07, ISBN 978-7-0304-0417-6.