共鸣定理

共鸣定理（resonance theorem）或一致有界原理（uniform boundness principle）是线性泛函分析中的一个定理。

内容

假设$X$是 Banach 空间，$Y$是赋范线性空间，$W = \{ T_\lambda: X \to Y| \lambda \in \varLambda \}$是一组连续线性算子，如果它满足 $$\sup_{T \in W} \| Tx \| < + \infty, \quad \forall x \in X.$$ 那么$W$是一致有界的，即存在正常数$M > 0$满足$\| T \| \leqslant M, \forall T \in W.$

这件事情的逆否命题是说如果$\sup_{T \in W} \| T \| = +\infty$，那么存在$x_0 \in X$使得 $$\sup_{T \in W} \| Tx_0 \| = + \infty.$$ 因此形象地称为共鸣定理。

这个定理的结论相当让人振奋，它给出了一个“点态收敛可以导出全局一致收敛”的结果。

证明

用等价范数定理

在$X$中定义 $$\| x \|_W := \| x \| + \sup_{T \in W} \| Tx \|.$$ 显然$\| \cdot \|_W$是$X$上的范数且比$\| \cdot \|$强，下面证明$(X, \| \cdot \|_W)$是完备的，为此取基本列$\{ x_n \} \subset X$显然它是$\| \cdot \|$意义下的收敛列，下证它也是$\| \cdot \|_W$意义下的收敛列。 $$\| x_m - x_n \|_W = \| x_m - x_n \| + \sup_{T \in W} \| T(x_m - x_n) \|.$$ 当$m,n$充分大时$\| x_m - x_n \| \to 0.$注意到$T \in W$一致有界，因此$\sup_{T \in W} \| T(x_m - x_n) \| \to 0.$这就是说$\| x_m - x_n \| \to 0, m, n \to \infty.$因此$\| \cdot \|$和$\| \cdot \|_W$等价（等价范数定理）。从而存在常数$M > 0$使得 $$\sup_{T \in W} \| Tx \| \leqslant M \| x \|.$$ 进而得到结论。

用 Baire 纲定理

令 $$X_n := \{ x \in X: \sup_{T \in W} \| Tx \| \leqslant n \}.$$ 很容易看到$X_n$是闭集，由一致有界的条件我们得到 $$X = \bigcup_{i=1}^\infty X_n.$$ 由 Baire 定理可得存在一些$n_0 \in \N$使得$X_{n_0}$内点集非空，即$\text{Int} X_{n_0} \ne \varnothing$，于是我们可以找到一个小球$B(x_0, r_0) \subset X_{n_0}$在这个小球上我们有 $$\sup_{T \in W} \| T(x_0 + r_0 z) \| \leqslant n_0, \quad \forall z \in B(0, 1).$$ 这将会导出 $$r_0 \| T \| \leqslant n_0 + \| T x_0 \|, \quad \forall T \in W.$$ 这样我们就证明了结果。

推论

Banach-Steinhaus 定理

假设$X$是 Banach 空间，$Y$是赋范线性空间，$X$的一个子集$M$在$X$中稠密，另设有一列连续线性算子$T_n: X \to Y, n = 1,2,\cdots$，那么 $$\exists T\in {\mathcal {L}}(X,Y),\lim _{n\to \infty }T_{n}x=Tx,\forall x\in X$$ 成立当且仅当$\| T_n \|$一致有界且式#A1对任意的$x\in M$成立。

有界集的判定

下面这个定理很重要，它能直接告诉我们这样的结果：对于一个 Banach 空间$X$中的集合$A$，任意连续线性泛函$f \in X^*$把$A$都映成了有界集，那么$A$只能是有界集。这个结果可以理解为弱有界和强有界的等价性。

Banach 空间$X$中的集合$A$是有界的当且仅当对任意连续线性泛函$f \in X^*$，$f(A)$都是有界集。

关于这个定理/命题的证明，单击这里以显示/折叠

必要性显然，下面证明充分性，定义 $$T_a(f) = \langle f, a \rangle, \forall f \in X^*.$$ 那么对任意$a \in A$我们有 $\sup_{a \in A} |T_a(f)| < +\infty.$ 由共鸣定理，$M = \sup_{a \in A} \| T_a \| < +\infty.$这就是说对任意$f \in X^*$我们都有 $$|f(a)| = |T_a(f)| \leqslant \| T_a \| \| f \| \leqslant M \| f \|.$$ 由 Hahn-Banach 定理的推论得到 $$\| a \| = \sup_{f \in B_{X^*}} |f(a)| \leqslant M.$$

对偶地，我们有如下*弱有界性的推论：

Banach 空间$X$的共轭空间$X^*$中的集合$B^*$是有界的当且仅当对任意$x \in X$，$\langle B^*, x \rangle := \{ \langle f, x \rangle: f \in B^* \}$是有界的。

关于这个定理/命题的证明，单击这里以显示/折叠

必要性显然，下面证明充分性，对任意$x \in X$我们有 $\sup_{f \in B^*} |f(x)| < +\infty.$ 由共鸣定理，$M = \sup_{f \in B^*} \| f \| < +\infty.$这就是说对任意$x \in X$我们都有 $$|f(x)| \leqslant \| f \| \| x \| \leqslant M \| x \|.$$ 由算子范数的定义得到 $$\| f \| = \sup_{x \in B_X} |f(x)| \leqslant M.$$

参考资料

1. 张恭庆, 林源渠, 《泛函分析讲义（上册）（第二版）》, 高等教育出版社, 北京, 2021-01, ISBN 978-7-3013-0964-3.