共軛算子

在線性泛函分析中，共軛算子或稱對偶算子（dual operator）、伴隨算子（adjoint operator），是線性代數中矩陣的共軛轉置（Hermite 轉置）的推廣。

線性算子的共軛

對於一個稠定的（即定義域$D(T)$在整個空間$X$中稠密）線性算子$T: X \to Y$而言，我們可以按照下面的方式定義它的共軛：首先定義定義域 $$D(T^*) := \{ v \in Y^*: \exists c \geqslant 0, \forall u \in D(T), |\langle v, Tu \rangle| \leqslant c \| u \| \}.$$ 可以驗證$D(T^*)$是$Y^*$的線性子空間，然後對任意$v \in D(T^*)$，我們定義$T^*v \in X^*$是$D(T)$上的有界線性泛函$u \mapsto \langle v, Tu \rangle$在$X$上的連續延拓，因為$D(T)$在$X$中稠密，這個連續延拓存在且唯一，因此我們就做出了映射$v \mapsto T^*v$，它定義在$D(T^*)$上。

評註

1. 如果$T$是連續的，那麼$D(T^*) = Y^*$，且定義的過程中不需要延拓直接得到$$\langle T^*v, u \rangle_{X^*, X} = \langle v, Tu \rangle_{Y^*, Y}, \quad \forall u \in X, v \in Y^*.$$
2. 定義里要求$D(T)$在$X$中稠密的原因是保證後面的延拓是唯一的，否則我們無法通過研究共軛算子來確定$X \setminus \overline{D(T)}$的任何性質。
3. $D(T)$未必是全空間，定義的差別導致我們在分析相關問題是一定要十分小心，當$u \in X \setminus D(T)$時我們不能寫出$\langle v, Tu \rangle$這樣的式子，因此也不會有$\langle T^*v, u \rangle = \langle v, Tu \rangle$成立，這時一般都要用到稠密性取$\{ u_k \} \subset D(T)$使得$\lim_{k \to \infty} u_k = u$再用$$\langle T^*v, u \rangle = \lim_{k \to \infty} \langle T^*v, u_k \rangle = \lim_{k \to \infty} \langle v, Tu_k \rangle, \forall v \in D(T^*)$$得出後續我們關心的結果。
4. 上述定義直白來講就是說共軛算子滿足下面的式子$$\langle T^*v, u \rangle_{X^*, X} = \langle v, Tu \rangle_{Y^*, Y}, \quad \forall u \in D(T), v \in Y^*.$$定義域$D(T^*)$直白來講就是$v \circ T$在$D(T)$上連續的線性算子$v \in Y^*$全體。
5. 即使我們要求$D(T)$在$X$中稠密，也不能得出$D(T^*)$在$Y^*$中稠密，甚至當$T$是閉算子的時候也未必滿足上述關係，例如取$X = l^1$，那麼定義$$D(T) = \{ (u_n) \in l^1: (nu_n) \in l^1 \}, \quad Tu = (nu_n).$$可以驗證它是稠定的閉算子但是$\overline{D(T^*)} \ne Y^*.$
6. 假設$T$是閉算子，那麼$D(T^*)$在$Y^*$中*弱稠密，特別地當$Y$自反時$D(T^*)$在$Y^*$中稠密。

圖像的閉性

在上面一些評註中我們看到閉算子在整個分析中的地位，實際上共軛算子就是閉算子，這就是下述定理：

假設$T: D(T) \subset X \to Y$是 Banach 空間間的稠定的線性算子，那麼$T^*: D(T^*) \subset Y^* \to X^*$是閉算子。

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我們要驗證，對任意的$v_n \to v$以及$T^*v_n \to f$蘊含

1. $v \in D(T^*)$：由共軛算子的定義$$\langle T^*v_n, u \rangle = \langle v_n, Tu \rangle, \quad \forall u \in D(T).$$注意到等式兩端極限均存在，取極限得到$$\langle f, u \rangle = \langle v, Tu \rangle, \forall u \in D(T).$$於是$$|\langle v, Tu \rangle| \leqslant \| f \| \| u \|, \forall u \in D(T).$$於是$v \in D(T^*).$
2. $f = T^*v$：由於$v \in D(T^*)$，那麼$$\langle T^*v, u \rangle = \langle v, Tu \rangle = \langle f, u \rangle \forall u \in D(T).$$於是$T^*v = f.$

這表明$T^*$的圖像 $$G(T^*) = \{ (v, T^*v) \in Y^* \times X^*: v \in D(T^*) \}$$ 是閉的，實際上我們有下面的圖的正交性質：

如果取$$\begin{align} I: Y^* \times X^* & \to X^* \times Y^*, \\ (v, f) & \mapsto (-f, v), \end{align}$$那麼我們有 $$I(G(T^*)) = G(T)^\perp.$$

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注意到

$$G(T) = \{ (u, Tu) \in X \times Y: u \in D(T) \}$$ 以及 $$G(T)^\perp = \{ (f, v) \in X^* \times Y^*: f(u) + v(Tu) = 0, \forall u \in D(T) \}.$$ 任取$(f, v) \in X^* \times Y^*$，那麼 $$\begin{align} (f, v) \in I(G(T^*)) & \iff (v, -f) \in G(T^*) \\ & \iff f = -T^*v \in X^* \\ & \iff \langle T^*v + f, u \rangle_{X^*, X} = 0, \forall u \in D(T) \\ & \iff \langle v, Tu \rangle_{Y^*, Y} + \langle f, u \rangle_{X^*, X} = 0, \forall u \in D(T) \\ & \iff (f, v) \in G(T)^\perp. \end{align}$$ 這裡我們忽略了一個同構$X^* \times Y^* \cong (X \times Y)^*.$

核空間和象空間的正交關係

參見閉算子。

假設$T: D(T) \subset X \to Y$是稠定的線性算子，那麼我們有

1. $N(T^*) = R(T)^\perp.$
2. $N(T^*)^\perp = \overline{R(T)}.$
3. $N(T) \subset R(T^*)^\perp.$進一步如果$T$是閉算子，那麼$N(T) = R(T^*)^\perp.$
4. $N(T)^\perp \supset \overline{R(T^*)}.$

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第二條和第四條根據第一和第三條以及補空間的性質得到，我們只證明第一條和第三條。

• 1. 我們寫出這兩個空間的定義$$\begin{align} N(T^*) & = \{ v \in D(T^*): \langle T^*v, u \rangle = 0, \forall u \in X \}, \\ & = \{ v \in Y^*: v \circ T|_{D(T)} \text{ is bounded}, \langle T^*v, u \rangle = 0, \forall u \in X \}; \\ R(T)^\perp & = \{ v \in Y^*: \langle v, Tu \rangle = 0, \forall u \in D(T) \}. \end{align}$$
  1. 通過直接觀察$u$的取值範圍以及當$u \in D(T)$時有$\langle T^*v, u \rangle = \langle v, Tu \rangle$我們首先就得到了$N(T^*) \subset R(T)^\perp$。
  2. 反過來實際上要用到稠密延拓性質，對任意$u \in X$存在一列$\{ u_k \} \subset D(T)$使得$\lim_{k \to \infty} u_k = u$，於是$$\langle T^*v, u \rangle = \lim_{k \to \infty} \langle T^*v, u_k \rangle = \lim_{k \to \infty} \langle v, Tu_k \rangle = 0.$$第一個等號是因為$T^*v$是$X$上的連續線性泛函。
• 3. 我們同樣寫出這兩個空間的定義$$\begin{align} N(T) & = \{ u \in D(T): Tu = 0 \in Y \}, \\ & = \{ u \in D(T): \langle v, Tu \rangle = 0, \forall v \in Y^* \}, \\ R(T^*)^\perp & = \{ u \in X: \langle T^*v, u \rangle = 0, \forall v \in D(T^*) \}. \end{align}$$
  1. 任取$u \in N(T) \subset D(T) \subset X$，對任意$v \in D(T^*)$我們有$\langle T^*v, u \rangle = \langle v, Tu \rangle$，這就說明$N(T) \subset R(T^*)^\perp$。
  2. 當$T$是閉算子時，用反證法，假設存在$u_0 \in R(T^*)^\perp$但是$u_0 \notin N(T)$，於是$(u_0, 0) \notin G(T)$，由凸集分離定理對於兩個不相交的閉集$G(T)$（按照閉算子的定義，$G(T)$在$X \times Y$中閉）以及單點集（緊集）$(u_0, 0)$存在一個連續線性泛函$h \in (X \times Y)^*$以及實數$\alpha$使得$$h(u, Tu) < \alpha < f(u_0, 0), \quad \forall u \in D(T).$$注意到$G(T)$是一個線性子空間，$h$在這個空間上有上界，進而$f(G(T)) = 0$，令$g(y) = h(0, y)$，它是線性的，且$$|g(y)| = |h(0, y)| \leqslant \| h \| \| (0, y) \| = \| h \| \| y \|, \quad \forall y \in Y.$$（這個式子中使用到了乘積空間中的拓撲/範數，參見對偶空間#乘積空間的對偶）即$g \in Y^*$，另一方面我們有$$|g(Tu)| = |h(0, Tu)| = |h(u, Tu) - h(u, 0)| \leqslant \| h \| \| u \|, \forall u \in D(T)$$即$g \in D(T^*).$注意到$u_0 \in R(T^*)^\perp \subset X$，那麼$\langle T^*g, u_0 \rangle = 0$，另一方面存在$\{ u_k \} \subset D(T)$使得$\lim_{k \to \infty} u_k = u_0$，於是$$\begin{align} 0 = \langle T^*g, u_0 \rangle & = \lim_{k \to \infty} \langle T^*g, u_k \rangle \\ & = \lim_{k \to \infty} \langle g, Tu_k \rangle \\ & = \lim_{k \to \infty} h(0, Tu_k) \\ & = \lim_{k \to \infty} \big( h(u_k, Tu_k) - h(u_k, 0) \big) \\ & = - \lim_{k \to \infty} h(u_k, 0) \\ & = - \lim_{k \to \infty} h(u_0, 0) \\ & < -\alpha < 0. \end{align}$$這樣就導出了矛盾，因此$u_0 \in N(T).$

連續線性算子的共軛

對於 Banach 空間上的連續線性算子，我們也可以定義第二共軛算子，這樣定義出的第二共軛算子性質更好，下面不必要求$X, Y$是自反的。

假設$X, Y$是賦范線性空間，$T: X \to Y$連續線性，那麼$T^*$是連續的且$\| T^* \| = \| T \|$，進一步如果$Y$是自反的，那麼$$\begin{align} *: \mathcal{L}(X, Y) & \to \mathcal{L}(Y^*, X^*), \\ T & \mapsto T^* \end{align}$$ 是等距同構。

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我們分別來證明這些結果：

1. 連續線性：實際上由上面的#命題2我們知道$T^*$是閉算子，而$D(T^*) = Y^*$由閉圖像定理得到$T^*$連續。
2. $\| T^* \| \leqslant \| T \|$：對任意的$v \in Y^*$我們有$$\| T^*v \| = \sup_{u \in B_X} |\langle T^*v, u \rangle| = \sup_{u \in B_X} |\langle v, Tu \rangle| \leqslant \sup_{u \in B_X} \| v \| \| T \| \| u \| = \| T \| \| v \|.$$
3. $\| T \| \leqslant \| T^* \|$：我們只需要證明對任意的$x \in X$成立$$\| Tx \| \leqslant \| T^* \| \| x \|$$即可，當$Tx = 0$時等式成立，下面假設$Tx \ne 0$，這樣根據 Hahn-Banach 定理的推論存在一個連續線性泛函$f \in Y^*$滿足$f(Tx) = \| Tx \|$且$\| f \| = 1$，於是$$\| Tx \| = \langle f, Tx \rangle = \langle T^*f, x \rangle \leqslant \| T^* f \| \| x \| \leqslant \| T^* \| \| x \|.$$
4. $*: \mathcal{L}(X, Y) \to \mathcal{L}(Y^*, X^*)$線性：直接驗證對任意的$a,b\in \mathbb{R}$以及任意的$T, S \in \mathcal{L}(X, Y)$我們有$$\begin{align} \langle (aT+bS)^*v, x \rangle & = \langle v, (aT+bS)x \rangle \\ & = a\langle v, Tx \rangle + b\langle v, Sx \rangle \\ & = a\langle T^*v, x \rangle + b\langle S^*v, x \rangle \\ & = \langle aT^*v, x \rangle + \langle bS^*v, x \rangle \\ & = \langle (aT^*+bS^*)v, x \rangle. \end{align}$$
5. $*$是滿的：給定$S: Y^* \to X^*$，定義$$\begin{align} T: X & \to Y, \\ x & \mapsto i_Y^{-1}(v \mapsto (i_X(x)(S(v))) \end{align}$$即滿足$$\langle i_Y(Tx), v \rangle = \langle i_X(x), Sv \rangle, \quad \langle v, Tx \rangle = \langle Sv, x \rangle, \quad \forall x \in X, v \in Y^*.$$
   1. $T$是良定義的，由於$v \mapsto (i_X(x)(S(v))$是$Y^*$上的連續線性泛函（連續線性算子和連續線性泛函的複合），由於$Y$自反，因此$i_Y^{-1}$是同構。
   2. $T$是線性的，我們可以等價地驗證$x \mapsto i_Y(Tx)$是線性的，對任意$v \in Y^*$$$\begin{align} \langle i_X(ax_1+bx_2), Sv \rangle &= \langle Sv, (ax_1+bx_2) \rangle \\ &= a\langle Sv, x_1 \rangle + b\langle Sv, x_2 \rangle \\ &= a\langle i_X(x_1), Sv \rangle + b\langle i_X(x_2), Sv \rangle \\ &= \langle ai_X(x_1) + bi_X(x_2), Sv \rangle \\ \end{align}$$
   3. $T$是連續的，$$\begin{align} \| Tx \| &= \| i_Y(Tx) \| = \sup_{v \in B_{Y^*}} \dfrac{|\langle i_Y(Tx), v \rangle|}{\| v \|} \\ & = \sup_{v \in B_{Y^*}} \dfrac{\langle Sv, x \rangle|}{\| v \|} \leqslant \| S \| \| x \|. \end{align}$$
   4. $T^* = S$，由定義式以及唯一性$\langle Sv, x \rangle = \langle T^*v, x \rangle$得到。

進一步我們可以考察$T^{**} = (T^*)^*$：

假設$X, Y$是賦范線性空間，$T: X \to Y$連續線性，$T^{**} \in \mathcal{L}(X^{**}, Y^{**})$是$T$在$X^{**}$上的保范延拓，即

1. $\| T^{**} \| = \| T \|.$
2. $T^{**} \circ i_X = i_Y \circ T.$

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如果$X, Y$是自反的，那麼這個結果是閉算子結果的直接推論，如果這裡由於多了連續性，我們可以減弱條件，實際上，對任意$v \in Y^*, x \in X$都有

$$\begin{align} \langle T^{**}(i_X(x)), f \rangle & = \langle i_X(x), T^*f \rangle \\ & = \langle T^*f, x \rangle = \langle f, Tx \rangle \\ & = \langle i_Y(Tx), f \rangle. \end{align}$$ 保距性質由#定理5得到：$\| T \| = \| T^* \| = \| T^{**} \|.$

此外還有代數性質：

假設$X, Y, Z$是 Banach 空間，$T: X \to Y, S: Y \to Z$連續線性，那麼$(S \circ T)^*$連續且$(S \circ T)^* = T^* \circ S^*$。

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注意到$T, S$的連續性，$S \circ T$也連續，所以可以定義共軛，對任意的$h \in Z^*, x \in X$我們有 $$\begin{align} \langle (T^* \circ S^*)(h), x \rangle & = \langle T^*(S^*(h)), x \rangle \\ & = \langle S^*(h), T(x) \rangle \\ & = \langle h, S(T(x)) \rangle \\ & = \langle h, (S \circ T)(x) \rangle \\ & = \langle (S \circ T)^*(h), x \rangle. \end{align}$$

假設$X, Y$是 Banach 空間，$T: X \to Y$可逆連續線性，那麼$T^*$也可逆且$(T^*)^{-1} = (T^{-1})^*$。

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根據逆算子定理$T^{-1}$是連續線性的，且$T T^{-1} = 1_X$這樣我們根據上一性質就有$1_{X^*} = (1_X)^* = (T^{-1})^* \circ T^*$，同理$T^* \circ (T^{-1})^* = 1_{Y^*}.$這裡我們用到了$1_{X^*} = (1_X)^*$，實際上對任意$v \in X^*, x \in X$我們都有$$\langle (1_{X})^{*}v,x\rangle =\langle v,1_{X}x\rangle =\langle 1_{X^{*}}v,x\rangle .$$

參考資料

1. 張恭慶, 林源渠, 《泛函分析講義（上冊）（第二版）》, 高等教育出版社, 北京, 2021-01, ISBN 978-7-3013-0964-3.