共轭算子

在线性泛函分析中，共轭算子或称对偶算子（dual operator）、伴随算子（adjoint operator），是线性代数中矩阵的共轭转置（Hermite 转置）的推广。

线性算子的共轭

对于一个稠定的（即定义域$D(T)$在整个空间$X$中稠密）线性算子$T: X \to Y$而言，我们可以按照下面的方式定义它的共轭：首先定义定义域 $$D(T^*) := \{ v \in Y^*: \exists c \geqslant 0, \forall u \in D(T), |\langle v, Tu \rangle| \leqslant c \| u \| \}.$$ 可以验证$D(T^*)$是$Y^*$的线性子空间，然后对任意$v \in D(T^*)$，我们定义$T^*v \in X^*$是$D(T)$上的有界线性泛函$u \mapsto \langle v, Tu \rangle$在$X$上的连续延拓，因为$D(T)$在$X$中稠密，这个连续延拓存在且唯一，因此我们就做出了映射$v \mapsto T^*v$，它定义在$D(T^*)$上。

评注

1. 如果$T$是连续的，那么$D(T^*) = Y^*$，且定义的过程中不需要延拓直接得到$$\langle T^*v, u \rangle_{X^*, X} = \langle v, Tu \rangle_{Y^*, Y}, \quad \forall u \in X, v \in Y^*.$$
2. 定义里要求$D(T)$在$X$中稠密的原因是保证后面的延拓是唯一的，否则我们无法通过研究共轭算子来确定$X \setminus \overline{D(T)}$的任何性质。
3. $D(T)$未必是全空间，定义的差别导致我们在分析相关问题是一定要十分小心，当$u \in X \setminus D(T)$时我们不能写出$\langle v, Tu \rangle$这样的式子，因此也不会有$\langle T^*v, u \rangle = \langle v, Tu \rangle$成立，这时一般都要用到稠密性取$\{ u_k \} \subset D(T)$使得$\lim_{k \to \infty} u_k = u$再用$$\langle T^*v, u \rangle = \lim_{k \to \infty} \langle T^*v, u_k \rangle = \lim_{k \to \infty} \langle v, Tu_k \rangle, \forall v \in D(T^*)$$得出后续我们关心的结果。
4. 上述定义直白来讲就是说共轭算子满足下面的式子$$\langle T^*v, u \rangle_{X^*, X} = \langle v, Tu \rangle_{Y^*, Y}, \quad \forall u \in D(T), v \in Y^*.$$定义域$D(T^*)$直白来讲就是$v \circ T$在$D(T)$上连续的线性算子$v \in Y^*$全体。
5. 即使我们要求$D(T)$在$X$中稠密，也不能得出$D(T^*)$在$Y^*$中稠密，甚至当$T$是闭算子的时候也未必满足上述关系，例如取$X = l^1$，那么定义$$D(T) = \{ (u_n) \in l^1: (nu_n) \in l^1 \}, \quad Tu = (nu_n).$$可以验证它是稠定的闭算子但是$\overline{D(T^*)} \ne Y^*.$
6. 假设$T$是闭算子，那么$D(T^*)$在$Y^*$中*弱稠密，特别地当$Y$自反时$D(T^*)$在$Y^*$中稠密。

图像的闭性

在上面一些评注中我们看到闭算子在整个分析中的地位，实际上共轭算子就是闭算子，这就是下述定理：

假设$T: D(T) \subset X \to Y$是 Banach 空间间的稠定的线性算子，那么$T^*: D(T^*) \subset Y^* \to X^*$是闭算子。

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我们要验证，对任意的$v_n \to v$以及$T^*v_n \to f$蕴含

1. $v \in D(T^*)$：由共轭算子的定义$$\langle T^*v_n, u \rangle = \langle v_n, Tu \rangle, \quad \forall u \in D(T).$$注意到等式两端极限均存在，取极限得到$$\langle f, u \rangle = \langle v, Tu \rangle, \forall u \in D(T).$$于是$$|\langle v, Tu \rangle| \leqslant \| f \| \| u \|, \forall u \in D(T).$$于是$v \in D(T^*).$
2. $f = T^*v$：由于$v \in D(T^*)$，那么$$\langle T^*v, u \rangle = \langle v, Tu \rangle = \langle f, u \rangle \forall u \in D(T).$$于是$T^*v = f.$

这表明$T^*$的图像 $$G(T^*) = \{ (v, T^*v) \in Y^* \times X^*: v \in D(T^*) \}$$ 是闭的，实际上我们有下面的图的正交性质：

如果取$$\begin{align} I: Y^* \times X^* & \to X^* \times Y^*, \\ (v, f) & \mapsto (-f, v), \end{align}$$那么我们有 $$I(G(T^*)) = G(T)^\perp.$$

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注意到

$$G(T) = \{ (u, Tu) \in X \times Y: u \in D(T) \}$$ 以及 $$G(T)^\perp = \{ (f, v) \in X^* \times Y^*: f(u) + v(Tu) = 0, \forall u \in D(T) \}.$$ 任取$(f, v) \in X^* \times Y^*$，那么 $$\begin{align} (f, v) \in I(G(T^*)) & \iff (v, -f) \in G(T^*) \\ & \iff f = -T^*v \in X^* \\ & \iff \langle T^*v + f, u \rangle_{X^*, X} = 0, \forall u \in D(T) \\ & \iff \langle v, Tu \rangle_{Y^*, Y} + \langle f, u \rangle_{X^*, X} = 0, \forall u \in D(T) \\ & \iff (f, v) \in G(T)^\perp. \end{align}$$ 这里我们忽略了一个同构$X^* \times Y^* \cong (X \times Y)^*.$

核空间和象空间的正交关系

参见闭算子。

假设$T: D(T) \subset X \to Y$是稠定的线性算子，那么我们有

1. $N(T^*) = R(T)^\perp.$
2. $N(T^*)^\perp = \overline{R(T)}.$
3. $N(T) \subset R(T^*)^\perp.$进一步如果$T$是闭算子，那么$N(T) = R(T^*)^\perp.$
4. $N(T)^\perp \supset \overline{R(T^*)}.$

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第二条和第四条根据第一和第三条以及补空间的性质得到，我们只证明第一条和第三条。

• 1. 我们写出这两个空间的定义$$\begin{align} N(T^*) & = \{ v \in D(T^*): \langle T^*v, u \rangle = 0, \forall u \in X \}, \\ & = \{ v \in Y^*: v \circ T|_{D(T)} \text{ is bounded}, \langle T^*v, u \rangle = 0, \forall u \in X \}; \\ R(T)^\perp & = \{ v \in Y^*: \langle v, Tu \rangle = 0, \forall u \in D(T) \}. \end{align}$$
  1. 通过直接观察$u$的取值范围以及当$u \in D(T)$时有$\langle T^*v, u \rangle = \langle v, Tu \rangle$我们首先就得到了$N(T^*) \subset R(T)^\perp$。
  2. 反过来实际上要用到稠密延拓性质，对任意$u \in X$存在一列$\{ u_k \} \subset D(T)$使得$\lim_{k \to \infty} u_k = u$，于是$$\langle T^*v, u \rangle = \lim_{k \to \infty} \langle T^*v, u_k \rangle = \lim_{k \to \infty} \langle v, Tu_k \rangle = 0.$$第一个等号是因为$T^*v$是$X$上的连续线性泛函。
• 3. 我们同样写出这两个空间的定义$$\begin{align} N(T) & = \{ u \in D(T): Tu = 0 \in Y \}, \\ & = \{ u \in D(T): \langle v, Tu \rangle = 0, \forall v \in Y^* \}, \\ R(T^*)^\perp & = \{ u \in X: \langle T^*v, u \rangle = 0, \forall v \in D(T^*) \}. \end{align}$$
  1. 任取$u \in N(T) \subset D(T) \subset X$，对任意$v \in D(T^*)$我们有$\langle T^*v, u \rangle = \langle v, Tu \rangle$，这就说明$N(T) \subset R(T^*)^\perp$。
  2. 当$T$是闭算子时，用反证法，假设存在$u_0 \in R(T^*)^\perp$但是$u_0 \notin N(T)$，于是$(u_0, 0) \notin G(T)$，由凸集分离定理对于两个不相交的闭集$G(T)$（按照闭算子的定义，$G(T)$在$X \times Y$中闭）以及单点集（紧集）$(u_0, 0)$存在一个连续线性泛函$h \in (X \times Y)^*$以及实数$\alpha$使得$$h(u, Tu) < \alpha < f(u_0, 0), \quad \forall u \in D(T).$$注意到$G(T)$是一个线性子空间，$h$在这个空间上有上界，进而$f(G(T)) = 0$，令$g(y) = h(0, y)$，它是线性的，且$$|g(y)| = |h(0, y)| \leqslant \| h \| \| (0, y) \| = \| h \| \| y \|, \quad \forall y \in Y.$$（这个式子中使用到了乘积空间中的拓扑/范数，参见对偶空间#乘积空间的对偶）即$g \in Y^*$，另一方面我们有$$|g(Tu)| = |h(0, Tu)| = |h(u, Tu) - h(u, 0)| \leqslant \| h \| \| u \|, \forall u \in D(T)$$即$g \in D(T^*).$注意到$u_0 \in R(T^*)^\perp \subset X$，那么$\langle T^*g, u_0 \rangle = 0$，另一方面存在$\{ u_k \} \subset D(T)$使得$\lim_{k \to \infty} u_k = u_0$，于是$$\begin{align} 0 = \langle T^*g, u_0 \rangle & = \lim_{k \to \infty} \langle T^*g, u_k \rangle \\ & = \lim_{k \to \infty} \langle g, Tu_k \rangle \\ & = \lim_{k \to \infty} h(0, Tu_k) \\ & = \lim_{k \to \infty} \big( h(u_k, Tu_k) - h(u_k, 0) \big) \\ & = - \lim_{k \to \infty} h(u_k, 0) \\ & = - \lim_{k \to \infty} h(u_0, 0) \\ & < -\alpha < 0. \end{align}$$这样就导出了矛盾，因此$u_0 \in N(T).$

连续线性算子的共轭

对于 Banach 空间上的连续线性算子，我们也可以定义第二共轭算子，这样定义出的第二共轭算子性质更好，下面不必要求$X, Y$是自反的。

假设$X, Y$是赋范线性空间，$T: X \to Y$连续线性，那么$T^*$是连续的且$\| T^* \| = \| T \|$，进一步如果$Y$是自反的，那么$$\begin{align} *: \mathcal{L}(X, Y) & \to \mathcal{L}(Y^*, X^*), \\ T & \mapsto T^* \end{align}$$ 是等距同构。

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我们分别来证明这些结果：

1. 连续线性：实际上由上面的#命题2我们知道$T^*$是闭算子，而$D(T^*) = Y^*$由闭图像定理得到$T^*$连续。
2. $\| T^* \| \leqslant \| T \|$：对任意的$v \in Y^*$我们有$$\| T^*v \| = \sup_{u \in B_X} |\langle T^*v, u \rangle| = \sup_{u \in B_X} |\langle v, Tu \rangle| \leqslant \sup_{u \in B_X} \| v \| \| T \| \| u \| = \| T \| \| v \|.$$
3. $\| T \| \leqslant \| T^* \|$：我们只需要证明对任意的$x \in X$成立$$\| Tx \| \leqslant \| T^* \| \| x \|$$即可，当$Tx = 0$时等式成立，下面假设$Tx \ne 0$，这样根据 Hahn-Banach 定理的推论存在一个连续线性泛函$f \in Y^*$满足$f(Tx) = \| Tx \|$且$\| f \| = 1$，于是$$\| Tx \| = \langle f, Tx \rangle = \langle T^*f, x \rangle \leqslant \| T^* f \| \| x \| \leqslant \| T^* \| \| x \|.$$
4. $*: \mathcal{L}(X, Y) \to \mathcal{L}(Y^*, X^*)$线性：直接验证对任意的$a,b\in \mathbb{R}$以及任意的$T, S \in \mathcal{L}(X, Y)$我们有$$\begin{align} \langle (aT+bS)^*v, x \rangle & = \langle v, (aT+bS)x \rangle \\ & = a\langle v, Tx \rangle + b\langle v, Sx \rangle \\ & = a\langle T^*v, x \rangle + b\langle S^*v, x \rangle \\ & = \langle aT^*v, x \rangle + \langle bS^*v, x \rangle \\ & = \langle (aT^*+bS^*)v, x \rangle. \end{align}$$
5. $*$是满的：给定$S: Y^* \to X^*$，定义$$\begin{align} T: X & \to Y, \\ x & \mapsto i_Y^{-1}(v \mapsto (i_X(x)(S(v))) \end{align}$$即满足$$\langle i_Y(Tx), v \rangle = \langle i_X(x), Sv \rangle, \quad \langle v, Tx \rangle = \langle Sv, x \rangle, \quad \forall x \in X, v \in Y^*.$$
   1. $T$是良定义的，由于$v \mapsto (i_X(x)(S(v))$是$Y^*$上的连续线性泛函（连续线性算子和连续线性泛函的复合），由于$Y$自反，因此$i_Y^{-1}$是同构。
   2. $T$是线性的，我们可以等价地验证$x \mapsto i_Y(Tx)$是线性的，对任意$v \in Y^*$$$\begin{align} \langle i_X(ax_1+bx_2), Sv \rangle &= \langle Sv, (ax_1+bx_2) \rangle \\ &= a\langle Sv, x_1 \rangle + b\langle Sv, x_2 \rangle \\ &= a\langle i_X(x_1), Sv \rangle + b\langle i_X(x_2), Sv \rangle \\ &= \langle ai_X(x_1) + bi_X(x_2), Sv \rangle \\ \end{align}$$
   3. $T$是连续的，$$\begin{align} \| Tx \| &= \| i_Y(Tx) \| = \sup_{v \in B_{Y^*}} \dfrac{|\langle i_Y(Tx), v \rangle|}{\| v \|} \\ & = \sup_{v \in B_{Y^*}} \dfrac{\langle Sv, x \rangle|}{\| v \|} \leqslant \| S \| \| x \|. \end{align}$$
   4. $T^* = S$，由定义式以及唯一性$\langle Sv, x \rangle = \langle T^*v, x \rangle$得到。

进一步我们可以考察$T^{**} = (T^*)^*$：

假设$X, Y$是赋范线性空间，$T: X \to Y$连续线性，$T^{**} \in \mathcal{L}(X^{**}, Y^{**})$是$T$在$X^{**}$上的保范延拓，即

1. $\| T^{**} \| = \| T \|.$
2. $T^{**} \circ i_X = i_Y \circ T.$

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如果$X, Y$是自反的，那么这个结果是闭算子结果的直接推论，如果这里由于多了连续性，我们可以减弱条件，实际上，对任意$v \in Y^*, x \in X$都有

$$\begin{align} \langle T^{**}(i_X(x)), f \rangle & = \langle i_X(x), T^*f \rangle \\ & = \langle T^*f, x \rangle = \langle f, Tx \rangle \\ & = \langle i_Y(Tx), f \rangle. \end{align}$$ 保距性质由#定理5得到：$\| T \| = \| T^* \| = \| T^{**} \|.$

此外还有代数性质：

假设$X, Y, Z$是 Banach 空间，$T: X \to Y, S: Y \to Z$连续线性，那么$(S \circ T)^*$连续且$(S \circ T)^* = T^* \circ S^*$。

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注意到$T, S$的连续性，$S \circ T$也连续，所以可以定义共轭，对任意的$h \in Z^*, x \in X$我们有 $$\begin{align} \langle (T^* \circ S^*)(h), x \rangle & = \langle T^*(S^*(h)), x \rangle \\ & = \langle S^*(h), T(x) \rangle \\ & = \langle h, S(T(x)) \rangle \\ & = \langle h, (S \circ T)(x) \rangle \\ & = \langle (S \circ T)^*(h), x \rangle. \end{align}$$

假设$X, Y$是 Banach 空间，$T: X \to Y$可逆连续线性，那么$T^*$也可逆且$(T^*)^{-1} = (T^{-1})^*$。

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根据逆算子定理$T^{-1}$是连续线性的，且$T T^{-1} = 1_X$这样我们根据上一性质就有$1_{X^*} = (1_X)^* = (T^{-1})^* \circ T^*$，同理$T^* \circ (T^{-1})^* = 1_{Y^*}.$这里我们用到了$1_{X^*} = (1_X)^*$，实际上对任意$v \in X^*, x \in X$我们都有$$\langle (1_{X})^{*}v,x\rangle =\langle v,1_{X}x\rangle =\langle 1_{X^{*}}v,x\rangle .$$

参考资料

1. 张恭庆, 林源渠, 《泛函分析讲义（上册）（第二版）》, 高等教育出版社, 北京, 2021-01, ISBN 978-7-3013-0964-3.